Συνάρτηση με απόλυτο

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 897
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Συνάρτηση με απόλυτο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Μαρ 18, 2018 11:41 pm

Έστω a,b\in \mathbb{R} και η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} για την οποία, f(\pi)=\pi και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει \displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |}. Να αποδείξετε ότι:
  • \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} 
x-\sin x, &x\geq 0 \\  
-x+\sin x, &x<0  
\end{matrix}\right..
  • Η εξίσωση f(x)=1 έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι αντίθετες.
  • Το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των τετμημένων και τις ευθείες x=-\varrho και x=\varrho ισούται με \displaystyle{2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho  \right )-\cos ^{2}\varrho }, όπου \varrho η θετική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (β).
  • Να αποδείξετε ότι για την θετική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (β΄) ισχύει:

    \displaystyle{2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho  \right )-\cos ^{2}\varrho <2\varrho }


Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ. Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι λόγω προχωρημένου της ώρας.
Υ.Γ. Έγινε διόρθωση του χωρίου.
τελευταία επεξεργασία από M.S.Vovos σε Δευ Μαρ 19, 2018 8:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3237
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνάρτηση με απόλυτο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 19, 2018 3:41 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Μαρ 18, 2018 11:41 pm
Έστω a,b\in \mathbb{R} και η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} για την οποία, f(\pi)=\pi και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει \displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |}. Να αποδείξετε ότι:
  • \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} 
x-\sin x, &x\geq 0 \\  
-x+\sin x, &x<0  
\end{matrix}\right..
  • Η εξίσωση f(x)=1 έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι αντίθετες.
  • Το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και την ευθεία \left ( \varepsilon  \right ):y=1 ισούται με \displaystyle{2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho  \right )-\cos ^{2}\varrho } όπου \varrho η θετική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (β).
  • Να αποδείξετε ότι για την θετική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (β΄) ισχύει:

    \displaystyle{2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho  \right )-\cos ^{2}\varrho <2\varrho }


Φιλικά,
Μάριος



Υ.Γ. Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι λόγω προχωρημένου της ώρας.
Νομίζω ότι το εμβαδό του χωρίου είναι

\displaystyle{2\varrho-2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho  \right )+\cos ^{2}\varrho }


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 897
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Συνάρτηση με απόλυτο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Δευ Μαρ 19, 2018 8:49 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Μαρ 19, 2018 3:41 pm
M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Μαρ 18, 2018 11:41 pm
Έστω a,b\in \mathbb{R} και η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} για την οποία, f(\pi)=\pi και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει \displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |}. Να αποδείξετε ότι:
  • \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} 
x-\sin x, &x\geq 0 \\  
-x+\sin x, &x<0  
\end{matrix}\right..
  • Η εξίσωση f(x)=1 έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι αντίθετες.
  • Το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και την ευθεία \left ( \varepsilon  \right ):y=1 ισούται με \displaystyle{2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho  \right )-\cos ^{2}\varrho } όπου \varrho η θετική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (β).
  • Να αποδείξετε ότι για την θετική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (β΄) ισχύει:

    \displaystyle{2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho  \right )-\cos ^{2}\varrho <2\varrho }


Φιλικά,
Μάριος



Υ.Γ. Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι λόγω προχωρημένου της ώρας.
Νομίζω ότι το εμβαδό του χωρίου είναι

\displaystyle{2\varrho-2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho  \right )+\cos ^{2}\varrho }
Σωστό Σταύρο.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3237
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνάρτηση με απόλυτο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Απρ 20, 2018 5:48 pm

Επαναφορά.
Ενδιαφέρουσα άσκηση που δείχνει αν ένας μαθητής έχει κατανοήσει την ύλη.


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1546
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Συνάρτηση με απόλυτο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Απρ 21, 2018 11:57 am

M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Μαρ 18, 2018 11:41 pm
Έστω a,b\in \mathbb{R} και η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} για την οποία, f(\pi)=\pi και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει \displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |}. Να αποδείξετε ότι:
  • \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} 
x-\sin x, &x\geq 0 \\  
-x+\sin x, &x<0  
\end{matrix}\right..

...Καλημέρα :logo: σαν μαθητής πριν τις εξετάσεις....


Α. Είναι \displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |} και αφού η f είναι παραγωγίσιμη θα είναι παραγωγίσιμη και στοx=0

δηλαδή θα υπάρχει το \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| \sin \left( ax \right)-bx \right|}{x}={f}'(0)

έτσι για x>0είναι \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)-bx}{x} \right|={f}'(0) ή

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)}{x}\alpha -b \right|={f}'(0)\Leftrightarrow |\alpha -b|={f}'(0) και

για x<0είναι \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)-bx}{x} \right|=-{f}'(0) ή

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)}{x}\alpha -b \right|=-{f}'(0)\Leftrightarrow |\alpha -b|=-{f}'(0)

άρα είναι αναγκαία |\alpha -b|=-|\alpha -b|\Leftrightarrow |\alpha -b|=0\Leftrightarrow \alpha =b επομένως f(x)=\left| \sin \left( ax \right)-ax \right|

Επειδή f(\pi )=\pi \Leftrightarrow |\sin (a\pi )-a\pi |=\pi προκύπτει ότι \sin (a\pi )-a\pi =\pi \Leftrightarrow \sin (a\pi )-a\pi -\pi =0(1) ή \sin (a\pi )-a\pi +\pi =0(2)

Τώρα αν θεωρήσουμε την συνάρτηση g(x)=\sin (\pi x)-\pi x-\pi ,\,\,x\in R έχει {g}'(x)=\pi \cos (\pi x)-\pi =\pi (\cos (\pi x)-1)\le 0,\,\,x\in R

άρα είναι γνήσια φθίνουσα στο R και επειδή g(-1)=\sin (-\pi )+\pi -\pi =0 θα έχει μοναδική ρίζα την x=-1 άρα λόγω (1) \alpha =-1

και ανάλογα αν h(x)=\sin (\pi x)-\pi x+\pi ,\,\,x\in R είναι γνήσια φθίνουσα στο R και επειδή g(1)=\sin (\pi )-\pi +\pi =0

θα έχει μοναδική ρίζα την x=1 άρα λόγω (2) \alpha =1 επομένως για \alpha =-1 είναι

f(x)=\left| -sinx+x \right|=|sinx-x| και για \alpha =1 είναι f(x)=\left| \sin x-x \right|=|sinx-x|

και οπότε λόγω του |sinx|\le |x|,x\in R \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} 
x-\sin x, &x\geq 0 \\  
-x+\sin x, &x<0  
\end{matrix}\right.

....Τώρα μαθημα συνέχεια άλλη ωρα...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 351
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Συνάρτηση με απόλυτο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Σάβ Απρ 21, 2018 8:02 pm

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Σάβ Απρ 21, 2018 11:57 am
M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Μαρ 18, 2018 11:41 pm
Έστω a,b\in \mathbb{R} και η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} για την οποία, f(\pi)=\pi και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει \displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |}. Να αποδείξετε ότι:
  • \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} 
x-\sin x, &x\geq 0 \\  
-x+\sin x, &x<0  
\end{matrix}\right..

...Καλημέρα :logo: σαν μαθητής πριν τις εξετάσεις....


Α. Είναι \displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |} και αφού η f είναι παραγωγίσιμη θα είναι παραγωγίσιμη και στοx=0

δηλαδή θα υπάρχει το \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| \sin \left( ax \right)-bx \right|}{x}={f}'(0)

έτσι για x>0είναι \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)-bx}{x} \right|={f}'(0) ή

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)}{x}\alpha -b \right|={f}'(0)\Leftrightarrow |\alpha -b|={f}'(0) και

για x<0είναι \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)-bx}{x} \right|=-{f}'(0) ή

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)}{x}\alpha -b \right|=-{f}'(0)\Leftrightarrow |\alpha -b|=-{f}'(0)

άρα είναι αναγκαία |\alpha -b|=-|\alpha -b|\Leftrightarrow |\alpha -b|=0\Leftrightarrow \alpha =b επομένως f(x)=\left| \sin \left( ax \right)-ax \right|

Επειδή f(\pi )=\pi \Leftrightarrow |\sin (a\pi )-a\pi |=\pi προκύπτει ότι \sin (a\pi )-a\pi =\pi \Leftrightarrow \sin (a\pi )-a\pi -\pi =0(1) ή \sin (a\pi )-a\pi +\pi =0(2)

Τώρα αν θεωρήσουμε την συνάρτηση g(x)=\sin (\pi x)-\pi x-\pi ,\,\,x\in R έχει {g}'(x)=\pi \cos (\pi x)-\pi =\pi (\cos (\pi x)-1)\le 0,\,\,x\in R

άρα είναι γνήσια φθίνουσα στο R και επειδή g(-1)=\sin (-\pi )+\pi -\pi =0 θα έχει μοναδική ρίζα την x=-1 άρα λόγω (1) \alpha =-1

και ανάλογα αν h(x)=\sin (\pi x)-\pi x+\pi ,\,\,x\in R είναι γνήσια φθίνουσα στο R και επειδή g(1)=\sin (\pi )-\pi +\pi =0

θα έχει μοναδική ρίζα την x=1 άρα λόγω (2) \alpha =1 επομένως για \alpha =-1 είναι

f(x)=\left| -sinx+x \right|=|sinx-x| και για \alpha =1 είναι f(x)=\left| \sin x-x \right|=|sinx-x|

και οπότε λόγω του |sinx|\le |x|,x\in R \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} 
x-\sin x, &x\geq 0 \\  
-x+\sin x, &x<0  
\end{matrix}\right.

....Τώρα μαθημα συνέχεια άλλη ωρα...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Καλησπέρα. Συνεχίζοντας...
β) Πρώτα από όλα εύκολα αποδεικνύεται ότι f είναι άρτια στο \mathbb{R} .
Θεωρώ την συνάρτηση h(x)=f(x)-1 .
Ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την h στο [0,\pi ] .
Συνεπώς η h έχει μία τουλάχιστον ρίζα x_o στο (0,\pi ) .
Επίσης η h είναι παραγωγίσιμη στο (0,\pi ) με h'(x)=f'(x) = 1-cosx.
Είναι h'(x)\geq 0 με h'(x)=0 σε μεμονωμένα σημεία στο (0,+\infty ).
Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+\infty ), συνεπώς η h έχει μοναδική ρίζα \varrho στο [0,+\infty ).
Άρα f(\varrho)=1 για μοναδικό \varrho στο [0,+\infty ) και επειδή
f είναι άρτια στο \mathbb{R} έχουμε f(-\varrho)=f(\varrho)=1 .

γ) H f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+\infty ). Άρα για x < \varrho \Rightarrow f(x) < f(\varrho ).
Άρα 1-f(x)>0 στο (0,\varrho) .
Επομένως και λόγω της συμμετρίας της C_f έχουμε:
E(\Omega )=2 \displaystyle{\int_{0}^{\varrho }\left ( 1-f(x) \right )dx =...=2\varrho - \varrho^2-2cos\varrho+2 .
Όμως f(\varrho )=1\Leftrightarrow \varrho =1+sin\varrho.
Αντικαθιστώντας έχουμε E(\Omega)=2\varrho -2(sin\varrho +cos\varrho ) +cos^2\varrho .

δ) Είναι E(\Omega) >0 \Leftrightarrow 2\varrho >2(sin\varrho +cos\varrho ) -cos^2\varrho .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης