Συνάρτηση με απόλυτο

M.S.Vovos · #1

Έστω $a,b\in \mathbb{R}$ και η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, $f(\pi)=\pi$ και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $\displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |}$ . Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x-\sin x, &x\geq 0 \\ -x+\sin x, &x<0 \end{matrix}\right.$ .

Η εξίσωση έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι αντίθετες.

Το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της , τον άξονα των τετμημένων και τις ευθείες $x=-\varrho$ και $x=\varrho$ ισούται με $\displaystyle{2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho \right )-\cos ^{2}\varrho }$ , όπου $\varrho$ η θετική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (β).

Να αποδείξετε ότι για την θετική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (β΄) ισχύει:

$\displaystyle{2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho \right )-\cos ^{2}\varrho <2\varrho }$

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι λόγω προχωρημένου της ώρας.
Υ.Γ. Έγινε διόρθωση του χωρίου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 18, 2018 11:41 pm
Έστω $a,b\in \mathbb{R}$ και η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, $f(\pi)=\pi$ και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $\displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |}$ . Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x-\sin x, &x\geq 0 \\ -x+\sin x, &x<0 \end{matrix}\right.$ .

Η εξίσωση έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι αντίθετες.

Το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και την ευθεία $\left ( \varepsilon \right ):y=1$ ισούται με $\displaystyle{2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho \right )-\cos ^{2}\varrho }$ όπου $\varrho$ η θετική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (β).

Να αποδείξετε ότι για την θετική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (β΄) ισχύει:

$\displaystyle{2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho \right )-\cos ^{2}\varrho <2\varrho }$

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι λόγω προχωρημένου της ώρας.

Νομίζω ότι το εμβαδό του χωρίου είναι

$\displaystyle{2\varrho-2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho \right )+\cos ^{2}\varrho }$

M.S.Vovos · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 19, 2018 3:41 pm

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 18, 2018 11:41 pm
Έστω $a,b\in \mathbb{R}$ και η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, $f(\pi)=\pi$ και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $\displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |}$ . Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x-\sin x, &x\geq 0 \\ -x+\sin x, &x<0 \end{matrix}\right.$ .

Η εξίσωση έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι αντίθετες.

Το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και την ευθεία $\left ( \varepsilon \right ):y=1$ ισούται με $\displaystyle{2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho \right )-\cos ^{2}\varrho }$ όπου $\varrho$ η θετική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (β).

Να αποδείξετε ότι για την θετική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (β΄) ισχύει:

$\displaystyle{2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho \right )-\cos ^{2}\varrho <2\varrho }$

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι λόγω προχωρημένου της ώρας.
Νομίζω ότι το εμβαδό του χωρίου είναι

$\displaystyle{2\varrho-2\left ( \sin \varrho +\cos \varrho \right )+\cos ^{2}\varrho }$

Σωστό Σταύρο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Επαναφορά.
Ενδιαφέρουσα άσκηση που δείχνει αν ένας μαθητής έχει κατανοήσει την ύλη.

#5

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 18, 2018 11:41 pm
Έστω $a,b\in \mathbb{R}$ και η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, $f(\pi)=\pi$ και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $\displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |}$ . Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x-\sin x, &x\geq 0 \\ -x+\sin x, &x<0 \end{matrix}\right.$ .

...Καλημέρα

σαν μαθητής πριν τις εξετάσεις....

Α. Είναι $\displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |}$ και αφού η

είναι παραγωγίσιμη θα είναι παραγωγίσιμη και στο x=0

δηλαδή θα υπάρχει το $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| \sin \left( ax \right)-bx \right|}{x}={f}'(0)$

έτσι για x>0

είναι $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)-bx}{x} \right|={f}'(0)$ ή

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)}{x}\alpha -b \right|={f}'(0)\Leftrightarrow |\alpha -b|={f}'(0)$ και

για x<0

είναι $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)-bx}{x} \right|=-{f}'(0)$ ή

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)}{x}\alpha -b \right|=-{f}'(0)\Leftrightarrow |\alpha -b|=-{f}'(0)$

άρα είναι αναγκαία $|\alpha -b|=-|\alpha -b|\Leftrightarrow |\alpha -b|=0\Leftrightarrow \alpha =b$ επομένως $f(x)=\left| \sin \left( ax \right)-ax \right|$

Επειδή $f(\pi )=\pi \Leftrightarrow |\sin (a\pi )-a\pi |=\pi$ προκύπτει ότι $\sin (a\pi )-a\pi =\pi \Leftrightarrow \sin (a\pi )-a\pi -\pi =0$ (1) ή $\sin (a\pi )-a\pi +\pi =0$ (2)

Τώρα αν θεωρήσουμε την συνάρτηση $g(x)=\sin (\pi x)-\pi x-\pi ,\,\,x\in R$ έχει ${g}'(x)=\pi \cos (\pi x)-\pi =\pi (\cos (\pi x)-1)\le 0,\,\,x\in R$

άρα είναι γνήσια φθίνουσα στο

και επειδή $g(-1)=\sin (-\pi )+\pi -\pi =0$ θα έχει μοναδική ρίζα την x=-1

άρα λόγω (1) $\alpha =-1$

και ανάλογα αν $h(x)=\sin (\pi x)-\pi x+\pi ,\,\,x\in R$ είναι γνήσια φθίνουσα στο

και επειδή $g(1)=\sin (\pi )-\pi +\pi =0$

θα έχει μοναδική ρίζα την x=1

άρα λόγω (2) $\alpha =1$ επομένως για $\alpha =-1$ είναι

$f(x)=\left| -sinx+x \right|=|sinx-x|$ και για $\alpha =1$ είναι $f(x)=\left| \sin x-x \right|=|sinx-x|$

και οπότε λόγω του $|sinx|\le |x|,x\in R$ $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x-\sin x, &x\geq 0 \\ -x+\sin x, &x<0 \end{matrix}\right.$

....Τώρα μαθημα συνέχεια άλλη ωρα...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Σταμ. Γλάρος · #6

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 21, 2018 11:57 am

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 18, 2018 11:41 pm
Έστω $a,b\in \mathbb{R}$ και η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, $f(\pi)=\pi$ και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $\displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |}$ . Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x-\sin x, &x\geq 0 \\ -x+\sin x, &x<0 \end{matrix}\right.$ .

...Καλημέρα σαν μαθητής πριν τις εξετάσεις....

Α. Είναι $\displaystyle{f(x)=\left | \sin \left ( ax \right )-bx \right |}$ και αφού η είναι παραγωγίσιμη θα είναι παραγωγίσιμη και στο

δηλαδή θα υπάρχει το $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| \sin \left( ax \right)-bx \right|}{x}={f}'(0)$

έτσι για είναι $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)-bx}{x} \right|={f}'(0)$ ή

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)}{x}\alpha -b \right|={f}'(0)\Leftrightarrow |\alpha -b|={f}'(0)$ και

για είναι $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)-bx}{x} \right|=-{f}'(0)$ ή

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin \left( ax \right)}{x}\alpha -b \right|=-{f}'(0)\Leftrightarrow |\alpha -b|=-{f}'(0)$

άρα είναι αναγκαία $|\alpha -b|=-|\alpha -b|\Leftrightarrow |\alpha -b|=0\Leftrightarrow \alpha =b$ επομένως $f(x)=\left| \sin \left( ax \right)-ax \right|$

Επειδή $f(\pi )=\pi \Leftrightarrow |\sin (a\pi )-a\pi |=\pi$ προκύπτει ότι $\sin (a\pi )-a\pi =\pi \Leftrightarrow \sin (a\pi )-a\pi -\pi =0$ (1) ή $\sin (a\pi )-a\pi +\pi =0$ (2)

Τώρα αν θεωρήσουμε την συνάρτηση $g(x)=\sin (\pi x)-\pi x-\pi ,\,\,x\in R$ έχει ${g}'(x)=\pi \cos (\pi x)-\pi =\pi (\cos (\pi x)-1)\le 0,\,\,x\in R$

άρα είναι γνήσια φθίνουσα στο και επειδή $g(-1)=\sin (-\pi )+\pi -\pi =0$ θα έχει μοναδική ρίζα την άρα λόγω (1) $\alpha =-1$

και ανάλογα αν $h(x)=\sin (\pi x)-\pi x+\pi ,\,\,x\in R$ είναι γνήσια φθίνουσα στο και επειδή $g(1)=\sin (\pi )-\pi +\pi =0$

θα έχει μοναδική ρίζα την άρα λόγω (2) $\alpha =1$ επομένως για $\alpha =-1$ είναι

$f(x)=\left| -sinx+x \right|=|sinx-x|$ και για $\alpha =1$ είναι $f(x)=\left| \sin x-x \right|=|sinx-x|$

και οπότε λόγω του $|sinx|\le |x|,x\in R$ $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x-\sin x, &x\geq 0 \\ -x+\sin x, &x<0 \end{matrix}\right.$

....Τώρα μαθημα συνέχεια άλλη ωρα...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Καλησπέρα. Συνεχίζοντας...
β) Πρώτα από όλα εύκολα αποδεικνύεται ότι

είναι άρτια στο $\mathbb{R}$ .
Θεωρώ την συνάρτηση h(x)=f(x)-1

.
Ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την

στο $[0,\pi ]$ .
Συνεπώς η

έχει μία τουλάχιστον ρίζα x_o

στο $(0,\pi )$ .
Επίσης η

είναι παραγωγίσιμη στο $(0,\pi )$ με h'(x)=f'(x) = 1-cosx

.
Είναι $h'(x)\geq 0$ με h'(x)=0

σε μεμονωμένα σημεία στο $(0,+\infty )$ .
Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty )$ , συνεπώς η

έχει μοναδική ρίζα $\varrho$ στο $[0,+\infty )$ .
Άρα $f(\varrho)=1$ για μοναδικό $\varrho$ στο $[0,+\infty )$ και επειδή

είναι άρτια στο $\mathbb{R}$ έχουμε $f(-\varrho)=f(\varrho)=1$ .

γ) H

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty )$ . Άρα για $x < \varrho \Rightarrow f(x) < f(\varrho )$ .
Άρα 1-f(x)>0

στο $(0,\varrho)$ .
Επομένως και λόγω της συμμετρίας της C_f

έχουμε:
$E(\Omega )=2 \displaystyle{\int_{0}^{\varrho }\left ( 1-f(x) \right )dx =...=2\varrho - \varrho^2-2cos\varrho+2$ .
Όμως $f(\varrho )=1\Leftrightarrow \varrho =1+sin\varrho$ .
Αντικαθιστώντας έχουμε $E(\Omega)=2\varrho -2(sin\varrho +cos\varrho ) +cos^2\varrho$ .

δ) Είναι $E(\Omega) >0 \Leftrightarrow 2\varrho >2(sin\varrho +cos\varrho ) -cos^2\varrho$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Συνάρτηση με απόλυτο

Συνάρτηση με απόλυτο

Re: Συνάρτηση με απόλυτο

Re: Συνάρτηση με απόλυτο

Re: Συνάρτηση με απόλυτο

Re: Συνάρτηση με απόλυτο

Re: Συνάρτηση με απόλυτο

Μέλη σε σύνδεση