Παραμετρική εξίσωση

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1223
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Παραμετρική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Απρ 22, 2018 1:00 pm

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για κάθε μία από τις οποίες η εξίσωση

x^3+4x^2-x\ln (a-3) +6=0

έχει μοναδική λύση στο διάστημα [-2,2].



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραμετρική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Απρ 22, 2018 7:02 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Απρ 22, 2018 1:00 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για κάθε μία από τις οποίες η εξίσωση

x^3+4x^2-x\ln (a-3) +6=0

έχει μοναδική λύση στο διάστημα [-2,2].
Δεν καταλαβαίνω τον ρόλο του \ln (a-3).(εκτός αν είναι για να μπερδέψει τους ''μικρούς'' )

Θέτω b=\ln (a-3)\wedge f(x)=x^3+4x^2-xb +6

ψάχνω τα b ώστε η f(x)=0 να έχει ακριβώς μια ρίζα στο [-2,2].

Είναι f(2)f(-2)=2(15-b)(b+7)

Αν b< -7 τότε από Bolzano θα έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [-2,2]

Αλλά για b< -7 είναι f'(x)=3x^{2}+8x-b> 0

Αρα για b< -7 η f(x)=0 έχει ακριβώς μια ρίζα στο [-2,2].

Εύκολα βλέπουμε ότι και για b= -7 η f(x)=0 έχει ακριβώς μια ρίζα στο [-2,2].

Γιατί έχει μια ρίζα το -2 και είναι γνησίως αύξουσα.


Εστω b>15

Λόγω του f(2)f(-2)<0 η f(x)=0 θα έχει 1 η 3 ρίζες στο [-2,2].
(είναι πολυωνυμική)

Θα αποκλίσουμε την περίπτωση να έχει τρεις.

Από Vietta είναι r_{1}+r_{2}+r_{3}=-4,r_{1}r_{2}+r_{3}r_{1}+r_{2}r_{3}=-b

Ετσι έχουμε
(r_{1}+r_{2}+r_{3})^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+2(r_{1}r_{2}+r_{3}r_{1}+r_{2}r_{3})\Rightarrow r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}> 46

πού δείχνει ότι δεν μπορεί και οι τρείς ρίζες να είναι πραγματικές και στο διάστημα [-2,2].

Για a=15 βρίσκουμε τις ρίζες και διαπιστώνουμε ότι είναι 2,-3+2\sqrt{3},-3-2\sqrt{3}.

Οπότε έχει δύο.

Αν -7< b< 15 τότε f(2)f(-2)>0 και η εξίσωση δεν μπορεί να έχει μοναδική ρίζα στο [-2,2] γιατί είναι
πολυωνυμική. (υποθέτω ότι μετράμε και πολλαπλότητες ριζών)

Μπορεί να αντιμετωπισθεί και χωρίς πολλαπλότητα ρίζας γιατί αν υπάρχει μπορεί να βρεθεί αφού θα είναι
κοινή ρίζα του πολυωνύμου και της παραγώγου του.

Τελικά έχει μοναδική ρίζα στο [-2,2] αν και μόνο αν είναι b\leq -7η b> 15

δηλαδή 3<a\leq 3+e^{-7} η a> 3+e^{15}


Χρησιμοποίησα το εξής (προφανές για μένα)
Αν f(x) πολυώνυμο και r ρίζα του τότε
1)αν η ρίζα έχει άρτια πολλαπλότητα τότε το πρόσημο μένει σταθερό γύρω από την ρίζα.
2) αν η ρίζα έχει περιττή πολλαπλότητα τότε το πρόσημο είναι διαφορετικό στις δυο πλευρές της ρίζας.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1223
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραμετρική εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Απρ 24, 2018 8:29 pm

Μια εναλλακτική προσέγγιση: Βασίζεται στην παρατήρηση ότι το x=0 δεν είναι λύση της εξίσωσης για καμία τιμή της παραμέτρου a οπότε ισοδύναμα μπορεί να γραφεί (b=\ln (a-3))

x^{3}+4x^{2}-bx +6=0 \Leftrightarrow x^2+4x+\dfrac{6}{x}=b

Ανάγοντας έτσι το πρόβλημα σε μια νέα συνάρτηση, η μελέτη της οποίας ενδεχομένως να δίνει μια πιο καθαρή οπτική εικόνα για το πλήθος των λύσεων.

Για την συνάρτηση f(x)=x^2+4x+\dfrac{6}{x},  x \in [-2,2] είναι

f{'}(x)=2x+4-\dfrac{6}{x^2} =  \dfrac{2x^3+4x^2-6}{x^2}= \dfrac{2(x^3-1 +2x^2-2)}{x^2}=\dfrac{2(x^3-1 +2(x^2-1))}{x^2}

= \dfrac{2(x-1)(x^2+3x+3)}{x^2}

Επειδή x^2+3x+3 > 0 , \forall x

βρίσκουμε εύκολα τα διαστήματα μονοτονίας και συνυπολογίζοντας το γεγονός ότι ο άξονας των y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη
φτιάχνουμε την γραφική παράσταση της f. Απλή εποπτεία της οποίας μας δίνει πόσες ρίζες και για ποιές τιμές του b και αντίστοιχα του a.

parametrikh_poluwnumo.png
parametrikh_poluwnumo.png (16.71 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες