Με απλά υλικά (9)

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R\to R$ με $\displaystyle f(x)=x+2-\frac{4{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}$ .
α) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση .
γ) Να υπολογίσετε το $\displaystyle \int\limits_{-2}^{2}{f(x)dx}$ .
δ) Αν $\displaystyle 0<m<1$ να δείξετε ότι η ευθεία $\displaystyle (\varepsilon ):y=mx$ τέμνει τη $\displaystyle {{C}_{f}}$ σε τρία ακριβώς σημεία .

Η ιδέα είναι από εφαρμογή του σχολικού. Χωρίς λύση στο δ.

#2

exdx έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 23, 2018 7:57 am
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R\to R$ με $\displaystyle f(x)=x+2-\frac{4{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}$ .
α) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση .
γ) Να υπολογίσετε το $\displaystyle \int\limits_{-2}^{2}{f(x)dx}$ .
δ) Αν $\displaystyle 0<m<1$ να δείξετε ότι η ευθεία $\displaystyle (\varepsilon ):y=mx$ τέμνει τη $\displaystyle {{C}_{f}}$ σε τρία ακριβώς σημεία .

Η ιδέα είναι από εφαρμογή του σχολικού. Χωρίς λύση στο δ.

α) Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με παράγωγο $\displaystyle f'(x) = \frac{{{{({e^x} - 1)}^2}}}{{{{({e^x} + 1)}^2}}} \ge 0,$ άρα είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}.$

$\displaystyle f''(x) = \frac{{4{e^x}({e^x} - 1)}}{{{{({e^x} + 1)}^3}}} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0.$ Η

είναι λοιπόν κοίλη στο $\displaystyle ( - \infty ,0]$ και κυρτή στο $\displaystyle [0, + \infty )$

β) Η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R},$ οπότε δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [f(x) - (x + 2)] = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4{e^x}}}{{{e^x} + 1}} = 0$ και η ευθεία $\boxed{y=x+2}$ είναι πλάγια ασύμπτωτη στο $\displaystyle - \infty.$

: Με απλά υλικά (9).png (7.9 KiB) Προβλήθηκε 981 φορές

Εξάλλου, η

είναι περιττή. Πράγματι, για κάθε $x,-x\in \mathbb{R}$ είναι:

$\displaystyle f(x) + f( - x) = x + 2 - \frac{{4{e^x}}}{{{e^x} + 1}} - x + 2 - \frac{4}{{{e^x} + 1}} = 4 - \frac{{4({e^x} + 1)}}{{{e^x} + 1}} = 0$

Άρα, $\displaystyle f(x) = x - 2 + \frac{4}{{{e^x} + 1}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) - (x - 2)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{{e^x} + 1}} = 0,$ δηλαδή η ευθεία

$\boxed{y=x-2}$ είναι πλάγια ασύμπτωτη στο $\displaystyle + \infty.$

γ) Επειδή η

είναι περιττή, $\displaystyle \int_{ - 2}^2 {f(x)dx = 0}$ (η απόδειξη είναι κλασική).

δ) Μία απόπειρα με κάθε επιφύλαξη. Δεν ξέρω κατά πόσο στέκει.
Για $\displaystyle 0<m<1$ η ευθεία y=mx

τέμνει την ασύμπτωτη y=x+2

στο σημείο με τετμημένη $x=\dfrac{2}{m-1}.$

Αν $\displaystyle m \to {1^ - } \Rightarrow x \to - \infty,$ οπότε η y=mx

τέμνει την y=x+2

σε κάποιο σημείο στο $\displaystyle ( - \infty ,0).$ Η

όμως σε αυτό

το διάστημα είναι κοίλη και βρίσκεται κάτω από την ασύμπτωτή της στο $\displaystyle - \infty$ , οπότε η y=mx

θα τέμνει υποχρεωτικά την C_f

σε ένα σημείο με τετμημένη στο $\displaystyle ( - \infty ,0).$ Ομοίως εργαζόμαστε και με την ασύμπτωτη y=x-2.

Τέλος έχουμε και το προφανές κοινό σημείο που είναι η αρχή των αξόνων, δηλαδή ακριβώς τρία κοινά σημεία.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Το δ) διαφορετικά.

Θέτουμε g(x)=f(x)-mx

που είναι περιττή.

Προφανώς g(0)=0

και αφού είναι περιττή αρκεί να αποδείξουμε

ότι έχει ακριβώς δύο ρίζες στο $[0,\infty )$ γιατί τότε θα έχει ακριβώς μια ρίζα

στο $(0,\infty )$

Επειδή η g'(x)=f'(x)-m

στο $(0,\infty )$ εχει ακριβώς μια ρίζα
(μπορούμε και να την βρούμε αλλά δεν χρειάζεται)

δεν μπορεί να έχει περισσότερες από δύο η g(x)=0

(Rolle)

Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι η g(x)=0

έχει ρίζα στο $(0,\infty )$

Είναι $\lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=\infty$

Αρα υπάρχει b>0

με

Επίσης επειδή g'(0)=-m< 0

υπάρχει

με

Ενας Bolzano στο [a,b]

μας δίνει αυτό που θέλουμε.

Christos.N · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 23, 2018 12:13 pm
Το δ) διαφορετικά.
...

Σταύρο πως θα έθετες με μεγαλύτερη αυστηρότητα το ζητούμενο λήμμα;

Το ερώτημα ζητάει να συνδυάσουμε την κυρτότητα μιας συνάρτησης ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής $\displaystyle \left[ {a,b} \right)$ (στην περίπτωση μας είναι κυρτή) και να δείξουμε ότι η ευθεία $\displaystyle y - f\left( a \right) = c\left( {x - a} \right)$ για συγκεκριμένες τιμές της παραμέτρου $\displaystyle c$ (εδώ κολλάω) τέμνει την γραφική παράστση της C_f

σε μοναδικό σημείο A(x_0),f(x_0),x_0>a

.

Αντιλαμβάνομαι μάλλον ότι $\displaystyle \mathop {\inf }\limits_{x \in \left( {a,b} \right)} \{ f'\left( x \right)\} < c < \mathop {\sup }\limits_{x \in \left( {a.b} \right)} \{ f'\left( x \right)\}$ , αλλά δυσκολεύομαι να το διατυπώσω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 23, 2018 7:36 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 23, 2018 12:13 pm
Το δ) διαφορετικά.
...
Σταύρο πως θα έθετες με μεγαλύτερη αυστηρότητα το ζητούμενο λήμμα;

Το ερώτημα ζητάει να συνδυάσουμε την κυρτότητα μιας συνάρτησης ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής $\displaystyle \left[ {a,b} \right)$ (στην περίπτωση μας είναι κυρτή) και να δείξουμε ότι η ευθεία $\displaystyle y - f\left( a \right) = c\left( {x - a} \right)$ για συγκεκριμένες τιμές της παραμέτρου $\displaystyle c$ (εδώ κολλάω) τέμνει την γραφική παράστση της σε μοναδικό σημείο .

Αντιλαμβάνομαι μάλλον ότι $\displaystyle \mathop {\inf }\limits_{x \in \left( {a,b} \right)} \{ f'\left( x \right)\} < c < \mathop {\sup }\limits_{x \in \left( {a.b} \right)} \{ f'\left( x \right)\}$ , αλλά δυσκολεύομαι να το διατυπώσω.

Για να το δούμε λοιπόν.

Η g(x)=f(x)-f(a)-c(x-a)

είναι προφανώς κυρτή.

Αν $c\geq f'(a)$ τότε εύκολα βλέπουμε ότι δεν υπάρχει ρίζα.

Αρα πρέπει να έχουμε f'(a)<c

Επειδή η

είναι κυρτή το $\lim_{x\rightarrow b}g(x)$ υπάρχει στο $\mathbb{R}\cup \left \{ \infty ,-\infty \right \}$
(εκτός σχολικής ύλης)

Αρα μπορούμε να την επεκτείνουμε και στο

.

Είναι γνωστό (και θα έπρεπε να είναι εντός σχολικής ύλης ) ότι κυρτή συνάρτηση σε κλειστό

παίρνει μέγιστη τιμή σε ένα από τα δύο άκρα .

Αν λοιπόν το $\lim_{x\rightarrow b}g(x)> 0$ η $g(b)= \infty$ τότε υπάρχει ρίζα .

Γιατί αφού f'(a)<c

υπάρχει

κοντα στο

με

και ο Bolzano μας την δίνει.

Συμπέρασμα.

Υπάρχει ρίζα αν και μόνο αν ισχύουν ταυτόχρονα οι $f'(a)< c,\lim_{x\rightarrow b}g(x)> 0$

Η ρίζα αν υπάρχει είναι μοναδική γιατί μια κυρτή συνάρτηση(σε σχολικό επίπεδο) έχει το πολύ δύο ρίζες και εδώ

προφανώς το

είναι ρίζα.

συμπλήρωμα.Διόρθωσα κάποιες αβλεψίες.

Με απλά υλικά (9)

Με απλά υλικά (9)

Re: Με απλά υλικά (9)

Re: Με απλά υλικά (9)

Re: Με απλά υλικά (9)

Re: Με απλά υλικά (9)

Μέλη σε σύνδεση