Κυρτή και ανισότητα

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Έστω $f:(0,+ \infty) \rightarrow R$ παραγωγίσιμη και κυρτή.

Αν o

είναι θετικός πραγματικός να δείξετε ότι
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{3a}{2}}f\left ( \frac{x+a}{2} \right )dx>\frac{3a}{2}f\left ( \frac{7a}{8} \right ).$

perpendicular · #2

Καλησπέρα Λάμπρο.
Έστω ότι $a,b\in R,a<b$ και $f:[a,b]\rightarrow R$ συνάρτηση.Τότε:
(1)αν η f είναι Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [a,b],τότε ο πραγματικός αριθμός $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt$
καλείται μέση τιμή της f στο [a,b].
(2)αν η f είναι κυρτή στο [a,b] (η συνέχεια της f στο (a,b) είναι δεδομένη και η πιθανή ασυνέχεια της σε κάποιο από τα a,b μπορεί να ξεπεραστεί αφού
δεν επηρεάζει την τιμή του ολοκληρώματος ή θεωρώντας πχ την συνεχή επέκταση της f στο [a,b]),τότε:
$\frac{1}{2}(f(a)+f(b))\geq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt\geq f(\frac{a+b}{2})$
Η απόδειξη της (2) βρίσκεται εύκολα σε αρκετά βιβλία ανάλυσης(οι επιπλέον υποθέσεις της παραγωγισιμότητας απλά βοηθούν στην ευκολότερη απόδειξη της) και εμείς θα χρησιμοποιήσουμε μόνον την δεξιά ανισότητα

Θεωρούμε την αλλαγή μεταβλητών $u:[0,\frac{3a}{2}]\rightarrow R$ ,ώστε $u(t)=\frac{t+a}{2},\forall t\in [0,\frac{3a}{2}]$ .Προφανώς η u είναι συνεχώς παραγωγίσιμη στο $[0,\frac{3a}{2}]$ με την f να είναι συνεχής στο $u([0,\frac{3a}{2}])=[\frac{a}{2},\frac{5a}{4}]$ , $u(0)=\frac{a}{2},u(\frac{3a}{2})=\frac{5a}{4}$ και $u'(t)=\frac{1}{2},\forall x\in [0,\frac{3a}{2}]$ ,οπότε:

$\int_{0}^{\frac{3a}{2}}f(\frac{a+t}{2})dt= 2\int_{0}^{\frac{3a}{2}}f(\frac{a+t}{2})\frac{1}{2}dt= 2\int_{0}^{\frac{3a}{2}}f(u(t))u'(t)dt= 2\int_{u(0)}^{u(\frac{3a}{2})}f(x)dx= 2\int_{\frac{a}{2}}^{\frac{5a}{4}}f(x)dx$ $=2(\frac{5a}{4}-\frac{a}{2})[\frac{1}{\frac{5a}{4}-\frac{a}{2}}\int_{\frac{a}{2}}^{\frac{5a}{4}}f(x)dx]\geq \frac{3a}{2}f(\frac{\frac{5a}{4}+\frac{a}{2}}{2})= \frac{3a}{2}f(\frac{7a}{8})$

UPDATE: Τώρα είδα ότι το θέμα είναι για Γ Λυκείου και ως εκ τούτου καλό είναι η προς απόδειξη σχέση (2)(δεξί μέλος) να παρατεθεί.Ήδη μου πήρε ώρες ως αρχάριος να γράψω το παραπάνω κείμενο οπότε ας με συγχωρέσετε και να την ανεβάσει οποιοσδήποτε μπορεί να είναι λίγο πιο σχετικός από εμένα σε latex

Κυρτή και ανισότητα

Κυρτή και ανισότητα

Re: Κυρτή και ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση