Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα

#1

Να δειχθεί, για $0<x<\dfrac{\pi}{4}$ , η ανισότητα

$(cosx)^{cos^2x}>(sinx)^{sin^2x}.$

[Εμφανίσθηκε πρόσφατα στο ΦΒ, μπορεί να έχει εμφανισθεί κάποτε και εδώ -- θα ήθελα να δω λύσεις πέραν της δικής μου

]

Λάμπρος Κατσάπας · #2

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2019 10:15 pm
Να δειχθεί, για $0<x<\dfrac{\pi}{4}$ , η ανισότητα

$(cosx)^{cos^2x}>(sinx)^{sin^2x}.$

[Εμφανίσθηκε πρόσφατα στο ΦΒ, μπορεί να έχει εμφανισθεί κάποτε και εδώ -- θα ήθελα να δω λύσεις πέραν της δικής μου ]

Για διευκόλυνση ως προς τους υπολογισμούς θα γράψω την προς απόδειξη ανισότητα στην μορφή

$\sqrt{(\cos^2 x)^{\cos^2x}}>\sqrt{(\sin^2 x)^{\sin^2x}}$ και θα θέσω $u=\sin^2 x, u\in (0,1/2).$

Πετώντας τα ριζικά και παίρνοντας λογαρίθμους αρκεί να δείξουμε ότι $f(u):=(1-u)\ln (1-u)-u\ln u>0.$

H πρώτη παράγωγος είναι ${f}'(u)=-\ln(1-u)-\ln u -2.$

Η δεύτερη παράγωγος είναι ${f}''(u)=\dfrac{2u-1}{u(1-u)}<0$ και επομένως

$+\infty = \lim_{u\rightarrow 0+}{f}'(u)>{f}'(u)>\lim_{u\rightarrow \frac{1}{2}-}{f}'(u)=2\ln2-2(<0)$ .

Η παράγωγος λοιπόν έχει μοναδική ρίζα u_0

στο

και τελικά η

είναι γνησίως αύξουσα μέχρι το u_0

και γνησίως φθίνουσα από το u_0

μέχρι το

$\dfrac{1}{2}.$ Είναι επίσης $\lim_{u\rightarrow \frac{1}{2}-}f(u)=\lim_{u\rightarrow 0+}f(u)=0$

και επομένως f(u)>0

όπως θέλαμε να δείξουμε.

Λάμπρος Μπαλός · #3

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2019 10:15 pm
Να δειχθεί, για $0<x<\dfrac{\pi}{4}$ , η ανισότητα

$(cosx)^{cos^2x}>(sinx)^{sin^2x}.$

[Εμφανίσθηκε πρόσφατα στο ΦΒ, μπορεί να έχει εμφανισθεί κάποτε και εδώ -- θα ήθελα να δω λύσεις πέραν της δικής μου ]

Γεια σας. Υπάρχει εδώ
viewtopic.php?f=55&t=59513&p=288357#p288357

#4

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 04, 2019 10:11 am

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2019 10:15 pm
Να δειχθεί, για $0<x<\dfrac{\pi}{4}$ , η ανισότητα

$(cosx)^{cos^2x}>(sinx)^{sin^2x}.$

[Εμφανίσθηκε πρόσφατα στο ΦΒ, μπορεί να έχει εμφανισθεί κάποτε και εδώ -- θα ήθελα να δω λύσεις πέραν της δικής μου ]
Γεια σας. Υπάρχει εδώ
viewtopic.php?f=55&t=59513&p=288357#p288357

Λάμπρο ΝΑΙ, τώρα το θυμάμαι! Όσον αφορά την δική μου προσέγγιση, αυτή είναι πιο κοντά στην απόδειξη του άλλου Λάμπρου, βασιζόμενη στο εξής λήμμα (που κατά την γνώμη μου θα έπρεπε να διδάσκεται, και του οποίου η απόδειξη εμπεριέχεται στην προσέγγιση του Λάμπρου):

Λήμμα: Αν η

είναι κοίλη στο (a, b)

και θετική στα a, b,

τότε είναι θετική στο [a, b].

[Στην δική μου προσέγγιση κατέληξα να έχω μία συνάρτηση αύξουσα στο (a, d)

και κοίλη στο (c, b)

, όπου

-- λεπτομέρειες εδώ.]

Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα

Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση