Ένα όριο με περιορισμό

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1858
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Ένα όριο με περιορισμό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Μάιος 02, 2020 5:42 pm

Να υπολογιστεί το όριο

\underset{x \to 0}{lim}\dfrac{xcosx-sinx}{x-sinx}

χωρίς την χρήση του κανόνα De L Hospital

δεν το έχω ψάξει αρκετά


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert

Λέξεις Κλειδιά:
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 483
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Ένα όριο με περιορισμό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Μάιος 02, 2020 6:37 pm

Από απροσεξία έγραψα να διαιρέσουμε το χ, οπότε έσβησα το μύνημα. Κύριε Χρήστο φαντάζομαι δεν επιτρέπεται ούτε η λύση με "έμμεση απόδειξη" του DLH έτσι;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα όριο με περιορισμό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 02, 2020 6:44 pm

Christos.N έγραψε:
Σάβ Μάιος 02, 2020 5:42 pm
Να υπολογιστεί το όριο

\underset{x \to 0}{lim}\dfrac{xcosx-sinx}{x-sinx}

χωρίς την χρήση του κανόνα De L Hospital
Επειδή η συνάρτηση είναι άρτια, αρκεί να βρούμε το πλευρικό όριο στο 0+. Εργαζόμαστε λοιπόν για x>0.

Με χρήση των \displaystyle{1- \frac {x^2}{2} \le \cos x \le 1- \frac {x^2}{2}  + \frac {x^4}{24} } και \displaystyle{x- \frac {x^3}{6} \le \sin x \le x- \frac {x^3}{6}  + \frac {x^5}{120}}

(αφήνω τις αποδείξεις γιατί είναι γνωστές: Αρχίζουμε από την \cos x \le 1 και ολοκληρώνουμε ξανά και ξανά από 0 ως X) έχουμε

\displaystyle{   x\left (1- \frac {x^2}{2} \right  ) - \left (x- \frac {x^3}{6}  + \frac {x^5}{120} \right  ) \le x  \cos x -\sin x\le x\left (1- \frac {x^2}{2}  + \frac {x^4}{24} \right   )- \left ( x- \frac {x^3}{6} \right  )}

ισοδύναμα

\displaystyle{   - \frac {x^3}{3} - \frac {x^5}{120} \le x  \cos x -\sin x\le - \frac {x^3}{3}  + \frac {x^5}{24}}

Όμοια για τον παρονομαστή \displaystyle{ \frac {x^3}{6} -   \frac {x^5}{120} \le x-  \sin x \le  \frac {x^3}{6} }

Άρα το αρχικό κλάσμα είναι ανάμεσα στα

\displaystyle{ \dfrac { - \dfrac {x^3}{3} - \dfrac {x^5}{120} }{\dfrac {x^3}{6}}   } και \displaystyle{ \dfrac { - \dfrac {x^3}{3} + \dfrac {x^5}{24} }{\dfrac {x^3}{6} -   \dfrac {x^5}{120}}   }

που έχουν κοινό όριο -2


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1858
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ένα όριο με περιορισμό

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Μάιος 02, 2020 9:04 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Μάιος 02, 2020 6:37 pm
Από απροσεξία έγραψα να διαιρέσουμε το χ, οπότε έσβησα το μύνημα. Κύριε Χρήστο φαντάζομαι δεν επιτρέπεται ούτε η λύση με "έμμεση απόδειξη" του DLH έτσι;
Οποιαδήποτε ιδέα που παρακάμπτει.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1858
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ένα όριο με περιορισμό

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Μάιος 02, 2020 9:05 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Μάιος 02, 2020 6:44 pm


Επειδή η συνάρτηση είναι άρτια, αρκεί να βρούμε το πλευρικό όριο στο 0+. Εργαζόμαστε λοιπόν για x>0.

Με χρήση των \displaystyle{1- \frac {x^2}{2} \le \cos x \le 1- \frac {x^2}{2}  + \frac {x^4}{24} } και \displaystyle{x- \frac {x^3}{6} \le \sin x \le x- \frac {x^3}{6}  + \frac {x^5}{120}}

(αφήνω τις αποδείξεις γιατί είναι γνωστές: Αρχίζουμε από την \cos x \le 1 και ολοκληρώνουμε ξανά και ξανά από 0 ως X) έχουμε

\displaystyle{   x\left (1- \frac {x^2}{2} \right  ) - \left (x- \frac {x^3}{6}  + \frac {x^5}{120} \right  ) \le x  \cos x -\sin x\le x\left (1- \frac {x^2}{2}  + \frac {x^4}{24} \right   )- \left ( x- \frac {x^3}{6} \right  )}

ισοδύναμα

\displaystyle{   - \frac {x^3}{3} - \frac {x^5}{120} \le x  \cos x -\sin x\le - \frac {x^3}{3}  + \frac {x^5}{24}}

Όμοια για τον παρονομαστή \displaystyle{ \frac {x^3}{6} -   \frac {x^5}{120} \le x-  \sin x \le  \frac {x^3}{6} }

Άρα το αρχικό κλάσμα είναι ανάμεσα στα

\displaystyle{ \dfrac { - \dfrac {x^3}{3} - \dfrac {x^5}{120} }{\dfrac {x^3}{6}}   } και \displaystyle{ \dfrac { - \dfrac {x^3}{3} + \dfrac {x^5}{24} }{\dfrac {x^3}{6} -   \dfrac {x^5}{120}}   }

που έχουν κοινό όριο -2
ωραία ιδέα.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ένα όριο με περιορισμό

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μάιος 02, 2020 9:27 pm

Christos.N έγραψε:
Σάβ Μάιος 02, 2020 5:42 pm
Να υπολογιστεί το όριο

\underset{x \to 0}{lim}\dfrac{xcosx-sinx}{x-sinx}

χωρίς την χρήση του κανόνα De L Hospital

δεν το έχω ψάξει αρκετά
Αφού θέλεις να λυθεί με ακροβατικό απέδειξε ότι για
\displaystyle 0<x<\frac{\pi }{2}
ισχύει
\displaystyle -2< \frac{x\cos x-\sin x}{x-\sin x}< -2+\frac{\pi }{2}x


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα όριο με περιορισμό

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 02, 2020 9:36 pm

Παραλλαγή για να γλιτώσουμε την διαίρεση ανισοτήτων και αντικατάστασή τους με διαίρεση ισοτήτων:

Δείχνουμε πρώτα με βάση τις

\displaystyle{   - \frac {x^3}{3} - \frac {x^5}{120} \le x  \cos x -\sin x\le - \frac {x^3}{3}  + \frac {x^5}{24}} και

\displaystyle{ \frac {x^3}{6} -   \frac {x^5}{120} \le x-  \sin x \le  \frac {x^3}{6} \,} ότι

\displaystyle{\displaystyle{ \lim _{x\to 0} \dfrac { x  \cos x -\sin x }{x^3} = - \frac {1}{3}}\,} και

\displaystyle{\displaystyle{ \lim _{x\to 0} \dfrac {x-\sin x}{x^3}= \dfrac {1}{6}}

Διαιρούμε τώρα κατά μέλη.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Ένα όριο με περιορισμό

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Κυρ Μάιος 03, 2020 12:48 pm

Μία ακόμα παραλλαγή.

Παρατηρούμε ότι:

\displaystyle{\frac{x\cos x-\sin x}{x-\sin x}=\frac{x\cos x-x+x-\sin x}{x-\sin x}=\frac{x(\cos x-1)}{x-\sin x}+1.}

Επίσης:

\displaystyle{\frac{x(\cos x-1)}{x-\sin x}=\frac{1}{1+\cos x}\frac{x(\cos^2 x-1)}{x-\sin x}=-\frac{1}{1+\cos x}\frac{x\sin^2x}{x-\sin x}}

και:

\displaystyle{\frac{x\sin^2x}{x-\sin x}=\frac{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2}{\frac{x-\sin x}{x^3}}}

Αρκεί, επομένως, να υπολογίσουμε το όριο:

\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}}

όπως έχει ήδη γίνει.

Από πρόβλημα του σχολικού δεν είναι αυτό;


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1858
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ένα όριο με περιορισμό

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Μάιος 03, 2020 3:14 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Κυρ Μάιος 03, 2020 12:48 pm
Από πρόβλημα του σχολικού δεν είναι αυτό;
Ναι βρίσκετε ως ερώτημα στις ασκήσεις της Γενικής ομάδας του 2ου κεφαλαίου, επίσης πάρα πολύ ωραία προσέγγιση, έναν τέτοιο τρόπο σκεφτόμουν και εγώ.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Ένα όριο με περιορισμό

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Κυρ Μάιος 03, 2020 4:37 pm

Christos.N έγραψε:
Κυρ Μάιος 03, 2020 3:14 pm
Ναι βρίσκετε ως ερώτημα στις ασκήσεις της Γενικής ομάδας του 2ου κεφαλαίου, επίσης πάρα πολύ ωραία προσέγγιση, έναν τέτοιο τρόπο σκεφτόμουν και εγώ.
Ευχαριστώ πολύ!

Η αλήθεια είναι ότι έχω παιδέψει λίγο και το τελευταίο όριο, αλλά δε βλέπω πώς να αποφύγουμε κάποια ανισότητα όπως αυτές που είδαμε παραπάνω - τον Taylor, στην ουσία.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα όριο με περιορισμό

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 03, 2020 5:05 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Κυρ Μάιος 03, 2020 4:37 pm

... δε βλέπω πώς να αποφύγουμε κάποια ανισότητα όπως αυτές που είδαμε παραπάνω - τον Taylor, στην ουσία.
Αν θέλεις μία λίγο εκτός ύλης απόδειξη χωρίς τις παραπάνω ανισότητες, είναι η παρακάτω. Χρησιμοποιεί το Θ.Μ.Τ. του Cauchy το οποίο όμως σπεύδω να προσθέσω οτι μπορεί να αποδειχθεί με εντός Σχολείου εργαλεία (η απόδειξη είναι παραλλαγή της στάνταρ απόδειξης του κλασικού Θ.Μ.Τ.)

Υπάρχει λοιπόν \xi ανάμεσα στο 0 και το x τέτοιο ώστε

\displaystyle{\dfrac{x-\sin x}{x^3}= \dfrac {1-\cos \xi}{3\xi^2}= \dfrac {2\sin ^2 \frac {\xi}{2}  }{3\xi ^2 }= \dfrac {1}{6}\left (\dfrac {\sin \frac {\xi}{2} }{\frac {\xi}{2}}\right )^2\to \dfrac {1}{6}}


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Ένα όριο με περιορισμό

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Δευ Μάιος 04, 2020 11:55 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Μάιος 03, 2020 5:05 pm
Αν θέλεις μία λίγο εκτός ύλης απόδειξη χωρίς τις παραπάνω ανισότητες, είναι η παρακάτω. Χρησιμοποιεί το Θ.Μ.Τ. του Cauchy το οποίο όμως σπεύδω να προσθέσω οτι μπορεί να αποδειχθεί με εντός Σχολείου εργαλεία (η απόδειξη είναι παραλλαγή της στάνταρ απόδειξης του κλασικού Θ.Μ.Τ.)

Υπάρχει λοιπόν \xi ανάμεσα στο 0 και το x τέτοιο ώστε

\displaystyle{\dfrac{x-\sin x}{x^3}= \dfrac {1-\cos \xi}{3\xi^2}= \dfrac {2\sin ^2 \frac {\xi}{2}  }{3\xi ^2 }= \dfrac {1}{6}\left (\dfrac {\sin \frac {\xi}{2} }{\frac {\xi}{2}}\right )^2\to \dfrac {1}{6}}
Εξαιρετική ιδέα και έξυπνη, μιας και βάζουμε τον de l'Hospital «από το παράθυρο».


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης