Σφαίρα και κύβος, επιφάνεια και όγκος

#1

Με αφορμή πρόσφατη συζήτηση εδώ, να δειχθεί ότι

Αν η συνολική επιφάνεια σφαίρας και κύβου είναι σταθερή, τότε ο συνολικός τους όγκος ελαχιστοποιείται όταν η ακμή του κύβου ισούται προς την διάμετρο της σφαίρας.

#2

gbaloglou έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 30, 2020 12:19 am
Με αφορμή πρόσφατη συζήτηση εδώ, να δειχθεί ότι

Αν η συνολική επιφάνεια σφαίρας και κύβου είναι σταθερή, τότε ο συνολικός τους όγκος ελαχιστοποιείται όταν η ακμή του κύβου ισούται προς την διάμετρο της σφαίρας.

Γιώργο καλησπέρα...

Ωραίο το πρόβλημά σου...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Σφαίρα και κύβος 1.png (35.86 KiB) Προβλήθηκε 1434 φορές

Θεωρούμε $\displaystyle{R}$ την ακτίνα του κύκλου, $\displaystyle{a}$ την ακμή του κύβου και $\displaystyle{c}$ η σταθερά τιμή του αθροίσματος των εμβαδών αυτών

των στερεών, η οποία βέβαια είναι τέτοια ώστε όλα τα εμφανιζόμενα ριζικά να έχουν πραγματικό νόημα.

Τότε θα είναι:

$\displaystyle{E=E_{s}+E_{k}=4\pi R^2+6a^2 =c \ \ (1) }$

Τότε το άθροισμα των όγκων των δύο αυτών στερεών είναι:

$\displaystyle{V(R,a)=\frac{4}{3} \pi R^3+a^3 \ \ (2) }$

Ζητούμε επομένως την ελαχίστη τιμή της $\displaystyle{V(R,a)}$ .

Από την (1) έχουμε:

$\displaystyle{a=\sqrt{\frac{c-4 \pi R^2}{6}} \ \ (3) }$

Άρα η (2) δίνει:

$\displaystyle{V(R)=\frac{4}{3} \pi R^3 +(\sqrt{\frac{c-4 \pi R^2}{6}})^3 \ \ (4)}$

Η παράγωγος της συνάρτησης αυτής μετά από πράξεις τελικά είναι:

$\displaystyle{V'(R)=\frac{8 \pi (\pi+6)R}{3(4R+\displaystyle\sqrt{\frac{2c-8 \pi R^2}{3}})} \cdot (R-\sqrt{\frac{c}{4 \pi +24}}) \cdot (R+\sqrt{\frac{c}{4 \pi +24}}) \ \ (5) }$

Η μελέτη του προσήμου της παραγώγου αυτής επειδή ο πρώτος παράγοντας είναι πάντα θετικός θα εξαρτάται από το πρόσημο του

τριωνύμου:

$\displaystyle{ f(R) = (R-\sqrt{\frac{c}{4 \pi +24}}) \cdot (R+\sqrt{\frac{c}{4 \pi +24}}) \ \ (6)}$

το οποίο μηδενίζεται για

$\displaystyle{R_o=\sqrt{\frac{c}{4 \pi +24} } \ \ (7) }$

και η τιμή αυτή δίνει ασφαλώς την ελαχίστη τιμή για τη συνάρτηση $\displaystyle{V(R)}$ .

Για την τιμή αυτή η ακμή του κύβου θα είναι:

$\displaystyle{a_o=\sqrt{\frac{c}{\pi+6}} \ \ (8) }$

Από τις (7) και (8) εύκολα δείχνεται:

$\displaystyle{a_o=2R_o}$

το οποίο είναι και το ζητούμενο.

Παρατήρηση:
Αναρτώ κι ένα δυναμικό σχήμα, καθότι το πρόβλημα έχει κινητικότητα.

Σφαίρα και κύβος 1.ggb: (21.74 KiB) Μεταφορτώθηκε 42 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#3

Καλημέρα Κώστα,

σ' ευχαριστούμε για την ενασχόληση και το δυναμικό σχήμα, παραθέτω κι εγώ μια δική μου οπτική:

Γνωρίζοντας το υπέροχο αυτό αποτέλεσμα (άμεση γενίκευση σχολικού προβλήματος), ας κινηθούμε λίγο διαφορετικά, θέτοντας c=10

(συνολική επιφάνεια σφαίρας και κύβου) και εκφράζοντας τον συνολικό όγκο σφαίρας και κύβου ως συνάρτηση της διαμέτρου της σφαίρας,

$V(d)=\dfrac{\pi d^3}{6}+\left(\dfrac{10-\pi d^2}{6}\right)^{3/2}.$

Θα καταλήξουμε φυσικά στο ίδιο αποτέλεσμα, ελαχιστοποίηση συνολικού όγκου για d=a

, και το ίδιο θα συμβεί και αν εκφράσουμε τον συνολικό όγκο ως συνάρτηση της ακμής του κύβου,

$V(a)=\dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{10-6a^2}{4\pi }\right)^{3/2}+a^3.$

ΕΠΙΠΛΕΟΝ, ανάλογο (αλλά 'αντίστροφο') αποτέλεσμα σχύει και για το αντίστροφο πρόβλημα: αν ο συνολικός όγκος σφαίρας και κύβου είναι σταθερός (πχ C=10

), τότε η συνολική επιφάνεια σφαίρας και κύβου μεγιστοποιείται για d=a

. Η προσέγγιση είναι απόλυτα ανάλογη προς αυτήν του αρχικού προβλήματος, οπότε δίνω απλώς τους σχετικούς τύπους

$E(d)=\pi d^2+6\left(10-\dfrac{\pi d^3}{6}\right)^{2/3}$

και

$E(a)=\pi \left(\dfrac{6}{\pi }(10-a^3)\right)^{2/3}+6a^3.$

Όλα τα παραπάνω συνοψίζονται στο συνημμένο, που 'εξηγεί' και την επιλογή της διαμέτρου αντί της ακτίνας

: area-volume.png (49.14 KiB) Προβλήθηκε 1380 φορές

#4

Ας την δούμε και στοιχειωδώς, χωρίς παραγώγιση. Θα χρησιμοποιήσω την ανισότητα

$\displaystyle{ a_1^{1/3} b_1^{2/3} + a_2^{1/3} b_2^{2/3} \le( a_1+a_2)^{1/3} (b_1+ b_2)^{2/3} }$ στους θετικούς, με ισότητα αν και μόνο αν $\displaystyle{\frac {a_1}{a_2}=\frac {b_1}{b_2}$ .

Πρόκειται για ειδική περίπτωση της Holder που αποδεικνύεται εύκολα υψώνοντας στον κύβο (και θέτοντας $a_1^{1/3}= A_1, b_1^{1/3}=B_1$ για να μην κουβαλάμε μεγάλες παραστάσεις).

Έτσι

$\displaystyle{ const = 4\pi R^2+ 6a^2= (36\pi) ^ {1/3} \left (\frac {4}{3} \pi R^3 \right ) ^{2/3} + (216) ^ {1/3} (a^3 ) ^{2/3} \le (36\pi + 216)^{1/3} \left (\frac {4}{3} \pi R^3 + a^3\right ) ^{2/3}}$

Οπότε

$\displaystyle{\sqrt { \frac {const^3 }{36\pi + 216} } \le \frac {4}{3} \pi R^3 + a^3}$ (που είναι το ζητούμενο άθροισμα όγκων) με ισότητα αν και μόνον αν

$\displaystyle{ \frac {36\pi}{216} = \frac {\frac {4}{3} \pi R^3 }{a^3} }$ , ισοδύναμα a=2R

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 31, 2020 1:48 pm
Ας την δούμε και στοιχειωδώς, χωρίς παραγώγιση. Θα χρησιμοποιήσω την ανισότητα

$\displaystyle{ a_1^{1/3} b_1^{2/3} + a_2^{1/3} b_2^{2/3} \le( a_1+a_2)^{1/3} (b_1+ b_2)^{2/3} }$ στους θετικούς, με ισότητα αν και μόνο αν $\displaystyle{\frac {a_1}{a_2}=\frac {b_1}{b_2}$ .

Πρόκειται για ειδική περίπτωση της Holder που αποδεικνύεται εύκολα υψώνοντας στον κύβο (και θέτοντας $a_1^{1/3}= A_1, b_1^{1/3}=B_1$ για να μην κουβαλάμε μεγάλες παραστάσεις).

Έτσι

$\displaystyle{ const = 4\pi R^2+ 6a^2= (36\pi) ^ {1/3} \left (\frac {4}{3} \pi R^3 \right ) ^{2/3} + (216) ^ {1/3} (a^3 ) ^{2/3} \le (36\pi + 216)^{1/3} \left (\frac {4}{3} \pi R^3 + a^3\right ) ^{2/3}}$

Οπότε

$\displaystyle{\sqrt { \frac {const^3 }{36\pi + 216} } \le \frac {4}{3} \pi R^3 + a^3}$ (που είναι το ζητούμενο άθροισμα όγκων) με ισότητα αν και μόνον αν

$\displaystyle{ \frac {36\pi}{216} = \frac {\frac {4}{3} \pi R^3 }{a^3} }$ , ισοδύναμα

Ακρότατα άνευ Λογισμού

Σφαίρα και κύβος, επιφάνεια και όγκος

Σφαίρα και κύβος, επιφάνεια και όγκος

Re: Σφαίρα και κύβος, επιφάνεια και όγκος

Re: Σφαίρα και κύβος, επιφάνεια και όγκος

Re: Σφαίρα και κύβος, επιφάνεια και όγκος

Re: Σφαίρα και κύβος, επιφάνεια και όγκος

Μέλη σε σύνδεση