λ-εξάρτηση

M.S.Vovos · #1

Έστω $\lambda \in \mathbb{R}$ και η εξίσωση $\displaystyle{x^{3}+x=\lambda }$ .

(α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα.

(β) Συμβολίζουμε με $x\left ( \lambda \right )$ την ρίζα του ερωτήματος (α). Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:

$\displaystyle{\lim_{\lambda \rightarrow +\infty }x\left ( \lambda \right )}$

$\displaystyle{\lim_{\lambda \rightarrow +\infty }\frac{x\left ( \lambda \right )}{\lambda }}$

Φιλικά,
Μάριος

#2

η $\displaystyle{f(x)=x^3+x-l}$ είναι γνησιως αύξουσα $\displaystyle{f(0)=-l, f(l)=l^3}$ Αρα $\displaystyle{f(0)f(l)=-l^4\le 0}$
Αν $\displaystyle{l\ne 0}$ από το ΘΒ η $\displaystyle{f}$ έχει μια ρίζα
Αν $\displaystyle{l=0 , f(0)=0}$

Εστω $\displaystyle{x(l)\le 1}$ τοτε $\displaystyle{x^3(l)<1}$ οποτε $\displaystyle{x^3(l)+x(l)<2}$ και δεν δυνατόν $\displaystyle{l\to +\infty }$ διοτι $\displaystyle{ l<2}$ συνεπως $\displaystyle{x(l)>1 }$ ή $\displaystyle{2x^3(l)>x^3(l)+x(l)=l}$ δηλαδή $\displaystyle{x(l)>\sqrt[3]{l/2}\rightarrow +\infty}$

$\displaystyle{0<x(l)/l=1/1+x^2(l)\to 0}$

λ-εξάρτηση

λ-εξάρτηση

Re: λ-εξάρτηση

Μέλη σε σύνδεση