Όριο παραγώγου

#1

Με αφορμή αυτό προτείνω: να δειχθεί ότι $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}\right]'=\dfrac{1}{e}$ .

#2

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 04, 2021 7:55 pm
Με αφορμή αυτό προτείνω: να δειχθεί ότι $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}\right]'=\dfrac{1}{e}$ .

To πρώτο βήμα (η παραγώγιση) όπως στην παραπομπή και μετά:

$\displaystyle{\left[\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}\right]'=\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}\cdot \left[\ln\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{2x+1}{x(x+1)}\right]= \dfrac{x}{\left (1+\dfrac {1}{x} \right )^x}\left[\ln\dfrac{1}{1+\dfrac {1}{x}}+\dfrac{2x+1}{x(x+1)}\right]=}$

$\displaystyle{ \dfrac{1}{\left (1+\dfrac {1}{x} \right )^x}\left[x\ln \dfrac{1}{1+\dfrac {1}{x}}+\dfrac{x(2x+1)}{x(x+1)}\right]= \dfrac{1}{\left (1+\dfrac {1}{x} \right )^x}\left[\ln\dfrac{1}{\left (1+\dfrac {1}{x}\right ) ^x}+\dfrac{2x+1}{x+1}\right]}$

το οποίο τείνει στο

$\displaystyle{ \dfrac {1}{e} \left ( \ln \dfrac {1}{e} +2 \right ) = \dfrac {1}{e} \left (-1+2 \right ) = \dfrac {1}{e} }$

KARKAR · #3

: ταχύτατη σύγκλιση.png (11.83 KiB) Προβλήθηκε 855 φορές

Η μαύρη γραμμή είναι μια ευθεία με κλίση $\lambda=\dfrac{1}{e}$ . Η κόκκινη είναι η $C_{f}$ .

Παρατηρήστε πόσο εντυπωσιακά γρήγορα οι δύο γραμμές γίνονται σχεδόν "παράλληλες"

#4

Όλα δείχνουν ότι η $y=\dfrac{2x+1}{2e}$ είναι πλάγια ασύμπτωτος της $y=\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}$ !

#5

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 05, 2021 4:25 pm
Όλα δείχνουν ότι η $y=\dfrac{2x+1}{2e}$ είναι πλάγια ασύμπτωτος της $y=\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}$ !

ΝΑΙ, είναι -- η συζήτηση μεταφέρεται εδώ!

Όριο παραγώγου

Όριο παραγώγου

Re: Όριο παραγώγου

Re: Όριο παραγώγου

Re: Όριο παραγώγου

Re: Όριο παραγώγου

Μέλη σε σύνδεση