ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ
Δίνεται συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) με και τέτοια ώστε γνησίως φθίνουσα στο (α, β).
α) Να δειχτεί ότι για κάθε
β) i) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε μέγιστο της στο (α, β).
ii) Να δειχθεί ότι υπαρχουν τέτοια ώστε
γ) Δίνεται ακόμη ότι η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β). Να δείξετε ότι υπάρχει με και
α) Να δειχτεί ότι για κάθε
β) i) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε μέγιστο της στο (α, β).
ii) Να δειχθεί ότι υπαρχουν τέτοια ώστε
γ) Δίνεται ακόμη ότι η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β). Να δείξετε ότι υπάρχει με και
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ
Θα κάνω το γ) και μάλιστα βελτιωμένο.Aladdin έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 04, 2021 9:30 pmΔίνεται συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) με και τέτοια ώστε γνησίως φθίνουσα στο (α, β).
α) Να δειχτεί ότι για κάθε
β) i) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε μέγιστο της στο (α, β).
ii) Να δειχθεί ότι υπαρχουν τέτοια ώστε
γ) Δίνεται ακόμη ότι η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β). Να δείξετε ότι υπάρχει με και
Αρκεί να δειχθεί ότι
Θεωρούμε την
Είναι
Με δύο Rolle για την και ένα για την έχουμε ότι υπάρχει με
Αρα
Το γιατί είναι
(δεν χρειάζεται η μονοτονία της παραγώγου .Αρκεί η μέγιστη τιμή να είναι θετική)
Επειδή
παίρνουμε ότι
που είναι ισχυρότερη από αυτή που θέλουμε να δείξουμε.
Re: ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ
Από Rolle υπάρχει σημείο μηδενισμού της παραγώγου στο το οποίο είναι μοναδικό επειδή η παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα.
Ως γνησίως φθίνουσα η παράγωγος είναι θετική αριστερά του σημείου μηδενισμού και αρνητική δεξία.
Οπότε το μοναδικό σημείο μηδενισμού της είναι θέση ολικού μεγίστου.
Από Fermat κάθε άλλη θέση ολικού μεγίστου είναι ρίζα της παραγώγου.
Άρα αφού η παράγωγος έχει μοναδική ρίζα δεν υπάρχει άλλο ολικό μέγιστο.
ΥΓ: Πρώτη φορά στη ζωή μου κάνω μαθηματική απόδειξη χρησιμοποιώντας δυο μαθηματικά σύμβολα και τα υπόλοιπα με λόγια
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ
Για το α)
Αν υπήρχε ρίζα της στο τότε η παράγωγός της θα είχε δύο ρίζες στο , το οποίο είναι άτοπο επειδή η παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα.
Άρα για στο .
Άρα από συνέχεια θα είναι η παντού θετική η παντού αρνητική στο .
Αν ήταν παντού αρνητική δεν θα μπορούσε να έχει ολικό μέγιστο(γιατί;), που έχει από την προηγούμενή μου ανάρτηση.
Αν υπήρχε ρίζα της στο τότε η παράγωγός της θα είχε δύο ρίζες στο , το οποίο είναι άτοπο επειδή η παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα.
Άρα για στο .
Άρα από συνέχεια θα είναι η παντού θετική η παντού αρνητική στο .
Αν ήταν παντού αρνητική δεν θα μπορούσε να έχει ολικό μέγιστο(γιατί;), που έχει από την προηγούμενή μου ανάρτηση.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ
Για το β ii)Aladdin έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 04, 2021 9:30 pmΔίνεται συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) με και τέτοια ώστε γνησίως φθίνουσα στο (α, β).
α) Να δειχτεί ότι για κάθε
β) i) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε μέγιστο της στο (α, β).
ii) Να δειχθεί ότι υπαρχουν τέτοια ώστε
γ) Δίνεται ακόμη ότι η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β). Να δείξετε ότι υπάρχει με και
Από Θεώρημα μέσης τιμής υπάρχουν τέτοια ώστε:
Άρα
Αν τότε
θετικοί και
Επειδή το ζητούμενο έπεται.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες