ΑΝΙΣΟΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ

Aladdin · #1

Καλησπέρα, δεν γνωρίζω αν έχει μπει στην σωστή κατηγορία...

Για δύο αριθμούς $x,y \in R$ ισχύουν ${x^3} + {y^2} > 4$ και ${x^2} + {y^3} > 4$ . Να αποδείξετε ότι x + y > 1

.

KARKAR · #2

Τα παρακάτω είναι σκέψεις επί του θέματος και δεν αποτελούν λύση .

: Ανισοτική σχέση.png (17.94 KiB) Προβλήθηκε 721 φορές

Η κόκκινη καμπύλη είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης : $f(x)=\sqrt[3]{4-x^2}$ , στην οποία δεχθήκαμε

την κυβική ρίζα αρνητικού αριθμού . Τα σημεία του επιπέδου , τα οποία επαληθεύουν την : x^2+y^3>4

,

είναι αυτά που βρίσκονται βορειότερα της κόκκινης καμπύλης . Με τον ίδιο τρόπο τα σημεία τα οποία

επαληθεύουν την : x^3+y^2>4

, είναι αυτά που βρίσκονται ανατολικά της μπλε καμπύλης .

Άμεσα αντιλαμβανόμαστε ποια σημεία του επιπέδου επαληθεύουν και τις δύο . Τα σημεία αυτά , βρίσκονται

προφανώς βορειοανατολικά της ροζ ευθείας x+y=1

, δηλαδή επαληθεύουν την : x+y>1

.

Μπορούμε να βελτιώσουμε την παραπάνω , θεωρώντας την πράσινη εφαπτομένη της κόκκινης καμπύλης ,

δηλαδή εν τέλει ισχύει : $x+y\geq 1.18923$ ( η εξίσωση αυτή βρέθηκε με την βοήθεια λογισμικού ) .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Aladdin έγραψε: ↑
Δευ Απρ 12, 2021 9:38 pm
Καλησπέρα, δεν γνωρίζω αν έχει μπει στην σωστή κατηγορία...

Για δύο αριθμούς $x,y \in R$ ισχύουν ${x^3} + {y^2} > 4$ και ${x^2} + {y^3} > 4$ . Να αποδείξετε ότι .

Για να δούμε και μια λύση.
Με εντός φακέλου και για μικρότερο φάκελο.
1)περίπτωση.
$x,y\leq 0$
Από τις $\displaystyle {x^3} + {y^2} > 4$ και ${x^2} + {y^3} > 4$
παίρνουμε ότι x,y< -2

Αν $x\leq y$
τότε $\displaystyle 4<{x^3} + {y^2} < {y^3} + {y^2}=y^2(y+1)< 0$
ΑΤΟΠΟ.

2)περίπτωση.
$x>0,y\leq 0$
Αν θέσουμε y=-t

και δεν ισχύει η ζητούμενη θα έχουμε
$\displaystyle x^2-t^3> 4,x-t\leq 1$
Αμεσα προκύπτει ότι
$\displaystyle -t^3+t^2+2t-3>0,t\geq 0$
που είναι ΑΤΟΠΟ για δύο λόγους.
Εντός φακέλου θεωρώντας την
$\displaystyle f(t)=-t^3+t^2+2t-3,t\geq 0$
η σε μικρότερο φάκελο γράφοντας την ως
$\displaystyle (t-1)(2-t^2)> 1$
και διακρίνοντας τις περιπτώσεις $\displaystyle 0\leq t\leq 1,1<t<\sqrt{2},t\geq \sqrt{2}$

3)περίπτωση.
$x,y\geq 0$
Αμεσα προκύπτει ότι χ>1

η

και έχουμε το ζητούμενο.

Aladdin · #4

Σας ευχαριστώ πολύ για τις καταπληκτικές προσπάθειες σας.

ΑΝΙΣΟΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ

ΑΝΙΣΟΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ

Re: ΑΝΙΣΟΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ

Re: ΑΝΙΣΟΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ

Re: ΑΝΙΣΟΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ

Μέλη σε σύνδεση