ΡΙΖΑ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

#1

Καλησπέρα

βρίσκοντας παληές καλές μαθηματικές στιγμές...

Έστω

μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη με τις ιδιότητες:
• f(x)>0

για $x\ge 0$ ,
• η

γνήσια φθίνουσα στο $[0,+\infty )$
• και {f}'(0)=0

Αποδείξτε ότι {f}''(x)=0

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $(0,+\infty )$ .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#2

KAKABASBASILEIOS έγραψε: Σάβ Δεκ 11, 2021 11:06 pm
Έστω μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη με τις ιδιότητες:
• για $x\ge 0$ ,
• η γνήσια φθίνουσα στο $[0,+\infty )$
• και
Αποδείξτε ότι έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $(0,+\infty )$ .

Από την υπόθεση έπεται $f'(x) \le 0$ στο $[0,+\infty )$ . Αν για κάθε $x\in [0,+\infty )$ ισχύει f'(x)=0

, τελειώσαμε. Οπότε ας εξετάσουμε την εκδοχή ότι για κάποια a >0

ισχύει

.

Ισχυρίζομαι τώρα ότι δεν μπορεί να ισχύει $f'(b) \le f'(a) <0$ για κάθε b>a

γιατί τότε από ΘΜΤ και για κάθε x>a

υπάρχει $b\in (a,x)$ με $f(x) =f(a)+f'(b)(x-a) \le f(a) + f'(a)(x-a) \to -\infty$ καθώς $x\to \infty$ . Άτοπο αφού f(x) >0

για κάθε

.

Από τα προηγούμενα, υπάρχει b>a

με

. Δηλαδή ισχύει $f'(0) = 0 \ge f'(b) >f'(a)$ . Aν f'(b)=0

τελειώσαμε γιατί από Rolle στο $[0,\, b]$ υπάρχει $c\in (0,b)$ με f''(c)=0

. Αλλιώς είναι f'(0) = 0 >f'(b) >f'(a)

. Λόγω συνεχείας της

υπάρχει $d\in (0,\, a)$ με f'(d)=f'(b)

. Άρα από Rolle υπάρχει $\xi \in [d,\,b]$ με $f''(\xi) = 0$ . Τελειώσαμε.

#3

Ελάχιστα διαφορετικά από τον κ. Λάμπρου (ο οποίος για να κάνει σχολική τη λύση δεν ανέφερε το θέωρημα Darboux). Μια και είμαστε όμως στα θέματα με απαιτήσεις και επειδή η απόδειξη του θ. Darboux μπορεί να γίνει με σχολική ύλη (βλέπε π.χ. στην παραπάνω παραπομπή), μπορούμε να κάνουμε τα εξής:

Αν η f''

δε μηδενίζεται στο $(0,+\infty)$ τότε από το θ. Darboux διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $(0,+\infty)$ . Εύκολα απορρίπτουμε την περίπτωση f''(x)>0

και έτσι

για κάθε $x\in(0,+\infty)$ . Τότε βγάζουμε $f'(x)\leq 0$ για κάθε $x\in[0,+\infty)$ άρα για a>0

έχω

που σημαίνει ότι αφού η

είναι κοίλη άρα βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της στο

, δηλαδή $f(x)\leq f'(a)(x-a)+f(a)$ η οποία όμως εφαπτομένη στο $+\infty$ πάει στο $-\infty$ άρα έχουμε και $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ που είναι άτοπο αφού f(x)>0

για κάθε $x\geq 0$ .

Αλέξανδρος

#4

Παίρνοντας την ιδέα από την λύση του Αλέξανδρου, παραθέτω μία ελάχιστη παραλλαγή της κρύβοντας την ιδιότητα Darboux.

Έστω ότι για κάθε $x \ge 0$ είναι $f''(x)\ne 0$ .

Από την υπόθεση έπεται $f'(x) \le 0$ στο $[0,+\infty )$ , δηλαδή η

έχει ολικό μέγιστο στο x=0

αφού $f'(0)=0\ge f'(x)$ . Ας δούμε τι γίνεται με τα ελάχιστα της

.

Πρώτα απ' όλα η

δεν είναι σταθερή (αφού $f''(x)\ne 0$ ). Δηλαδή για κάποιο a>0

ειναι

. Παίρνουμε λοιπόν ένα b>a

. Το ολικό ελάχιστο της

στο διάστημα $[0,\, b]$ δεν μπορεί να είναι σε εσωτερικό του σημείο $\xi$ του $[0,\,b]$ γιατί εκεί θα ήταν $f''(\xi )=0$ . Άρα είναι στο δεξί άκρο, δηλαδή ισχύει $f'(b)\le f'(a)<0$ .

Tώρα συνεχίζουμε όπως πριν, δηλαδή για κάθε x>a

υπάρχει $b\in (a,x)$ με $f(x) =f(a)+f'(b)(x-a) \le f(a) + f'(a)(x-a) \to -\infty$ καθώς $x\to \infty$ . Άτοπο αφού f(x) >0

για κάθε

.

ΡΙΖΑ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

ΡΙΖΑ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Re: ΡΙΖΑ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Re: ΡΙΖΑ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Re: ΡΙΖΑ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Μέλη σε σύνδεση