θέμα

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^2+x\sin x,x\in \mathbb{R}.$

Να αποδείξετε τα παρακάτω.

A)
i) ${f}'(x)\geq x+\sin x$ , για κάθε x>0

.

ii) ${f}'(x)\leq x+\sin x$ , για κάθε x<0

.

B) Για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $f(x)\geq 0$ με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν x=0

.

Γ) Οι εφαπτομένες της C_f

στα σημεία με αντίθετες τετμημένες τέμνονται πάνω στον κατακόρυφο άξονα y'y

.

Δ) Η εξίσωση $f(x)+\cos x=2$ έχει δύο ακριβώς πραγματικές ρίζες .

Ε) Αν η συνάρτηση $g(x)=|f(\sin x)-kx|,x\in \mathbb{R},k\in \mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0

τότε

.

#2

Αι)αρκεί $\displaystyle{f'(x)=2x+xcosx+sinx>x+sinx }$ για $\displaystyle{x>0}$
ή
$\displaystyle{χ(1+cosx)x>0}$ για $\displaystyle{x>0}$ που ισχύει
Αιι)ομοίως
Β) $\displaystyle{x>0}$ τότε $\displaystyle{f(x)=x^2+xsinx=x(x+sinx)<xf'(x)\Rightarrow xf'(x)-f(x)>0\Rightarrow (f(x)/x)'>0\uptarrow f(x)>f(0)}$
και όμοια όταν $\displaystyle{x<0}$
και με $\displaystyle{f(0)=0 }$ τελειώνουμε το Β
Γ) $\displaystyle{f}$ άρτια. Οι εξισώσεις των εφαπτόμενων είναι
$\displaystyle{y-f(a)=f'(a)(x-a)}$
$\displaystyle{y-f(a)=-f'(a)(x+a)}$
$\displaystyle{f'(a)\ne 0}$
H λύση του συστήματος δίνει $\displaystyle{x=0}$ κι έτσι αποδείξαμε και το Γ)

Δ)Εστω $\displaystyle{χ>0}$ θετω $\displaystyle{f(x)+cosx-2=h(x)}$ τοτε
$\displaystyle{h'(x)=f'(x)-sinx>x+sinx-sinx=x>0}$ αρα $\displaystyle{h\uparrow}$ και $\displaystyle{h(0)=-1,h(\pi)=\pi^2-3}$ οποτε η $\displaystyle{h}$ εχει μια ακριβως ρίζα για $\displaystyle{x>0}$ και αφού είναι κι αυτή άρτια εχει 2 ακριβως ρίζες

E) $\displaystyle{g'(0+)=\lim_{x \to 0+}(|(sinx/x)sinx+(sinx/x)(sin(sinx))-k|=|k|}$
ομοια $\displaystyle{g'(0-)=-|k|}$ λογω αρτιότητας
αρα $\displaystyle{|k|=-|k|...}$

θέμα

θέμα

Re: θέμα

Μέλη σε σύνδεση