Μοναδική κοινή εφαπτομένη

#1

Πιθανώς έχει ξανατεθεί: να δειχθεί ότι η εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη* με κλίση μεταξύ 1/e

και

.

*συν την συμμετρική αυτής

#2

gbaloglou έγραψε: Κυρ Μαρ 24, 2024 1:14 pm Πιθανώς έχει ξανατεθεί: να δειχθεί ότι η εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη* με κλίση μεταξύ και .

*συν την συμμετρική αυτής

Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle A(a,{{e}^{a}}),B(b,\ln b),a\in R,b>0$
Οι εφαπτόμενες προς τις γραφικές παραστάσεις είναι αντίστοιχα
$\displaystyle y-{{e}^{a}}={{e}^{a}}(x-a)\Leftrightarrow y={{e}^{a}}x+({{e}^{a}}-a{{e}^{a}})$ και $\displaystyle y-\ln b=\frac{1}{b}(x-b)\Leftrightarrow y=\frac{1}{b}x+(\ln b-1)$
Οι ευθείες αυτές ταυτίζονται αν και μόνο αν ισχύει :
$\displaystyle {{e}^{a}}=\frac{1}{b}\,$ και $\displaystyle {{e}^{a}}-a{{e}^{a}}=\,\ln b-1$ . Επομένως :
$\displaystyle \left. \begin{array}{l} {e^a} = \frac{1}{b}\,\,\,\,\,\,\\ {e^a} - a{e^a} = \,\ln b - 1 \end{array} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{array}{l} {e^a} = \frac{1}{b}\,\,\,\,\,\,\\ \frac{1}{b} - a\frac{1}{b} = \,\ln b - 1 \end{array} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{array}{l} \alpha = - \ln b\,\,\,\,\,\,\\ \frac{1}{b} + \ln b\frac{1}{b} = \,\ln b - 1 \end{array} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{array}{l} \alpha = - \ln b\,\,\,\,\,\,\\ 1 + \ln b = \,b\ln b - b \end{array} \right\}$
Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχουν αριθμοί $\displaystyle a,b$ , με $\displaystyle a\in R$ , $\displaystyle b>0$ οι οποίοι ικανοποιούν και τις δυο εξισώσεις .
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle t(x)=1+\ln x-x\ln x+x$ , με $\displaystyle x>0$
H $\displaystyle t$ είναι συνεχής με $\displaystyle t\left( \frac{1}{e} \right)=\frac{2}{e}>0,\,\,t\left( \frac{1}{{{e}^{2}}} \right)=\frac{3}{{{e}^{2}}}-1<0\,\,$
Επομένως από θεώρημα Bolzano έχουμε ότι υπάρχει $\displaystyle c\in \left( \frac{1}{{{e}^{2}}},\frac{1}{e} \right)$ ώστε $\displaystyle t(c)=0$
Ομοίως δειχνουμε ότι υπάρχει $\displaystyle d\in (e,{{e}^{2}})$ ώστε $\displaystyle t(d)=0$
Άρα η εξίσωση $\displaystyle t(x)=0$ έχει δυο τουλάχιστον ρίζες .
Ακόμα η $\displaystyle t$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle {t}'(x)=\frac{1}{x}-\ln x$ και $\displaystyle {{t}'}'(x)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{x}<0$ , οπότε η $\displaystyle {t}'$ είναι γνησίως φθίνουσα .
Είναι $\displaystyle {t}'\left( 1 \right)=1>0,\,\,{t}'\left( e \right)=\frac{1}{e}-1<0\,\,$ , επομένως από θεώρημα Bolzano έχουμε ότι υπάρχει $\displaystyle k\in \left( 1,e \right)$ ώστε $\displaystyle {t}'(k)=0$ , όπου το $\displaystyle k$ είναι μοναδικό λόγω μονοτονίας της $\displaystyle {t}'$ .
Από τον πίνακα μονοτονίας βλέπουμε ότι η $\displaystyle t$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle (0,k)$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle (k,+\infty )$ .
Επειδή $\displaystyle \left( \frac{1}{{{e}^{2}}},\frac{1}{e} \right)\subseteq (0,k)$ και $\displaystyle (e,{{e}^{2}})\subseteq (k,+\infty )$ οι ρίζες $\displaystyle c,d$ είναι μοναδικές .
Άρα η εξίσωση $\displaystyle t(x)=0$ έχει δυο ακριβώς ρίζες , οπότε το σύστημα έχει δύο ακριβώς ζεύγη λύσεων , άρα υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες .

Μοναδική κοινή εφαπτομένη

Μοναδική κοινή εφαπτομένη

Re: Μοναδική κοινή εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση