mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 05, 2024 12:24 am**

Με αφορμή αυτό

Έστω $x_o\in\mathbb{R}$ και $f\colon[x_o,+\infty)\to\mathbb{R}$ κυρτή συνάρτηση με $f^\prime(x_o)=0$

Να αποδειχθούν τα ακόλουθα:

#1. Η

είναι αντιστρέψιμη

#2. Η $f^{-1}$ έχει πεδίο ορισμού το διάστημα $[y_o,+\infty)$ όπου y_o=f(x_o)

και είναι γνησίως αύξουσα

#3. Η $f^{-1}$ είναι συνεχής

#4. Η $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο $(y_o,+\infty)$

#5. $\lim\limits_{y\to y_o}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_o)}{y-y_o}=+\infty$

Σημείωση
Με αφορμή το ερώτημα #3. θα σημειώσουμε ότι γενικότερα η αντίστροφη μιας συνεχούς και 1-1 συνάρτησης που ορίζεται σε διάστημα είναι επίσης συνεχής. Μια απόδειξη αυτού βασισμένη στην ύλη της Γ' Λυκείου μπορεί κανείς να δει εδώ

mathematica.gr

Συνέχεια και παραγωγισιμότητα της αντίστροφης μιας αντιστρέψιμης κυρτής

Συνέχεια και παραγωγισιμότητα της αντίστροφης μιας αντιστρέψιμης κυρτής