Υπολογισμος οριων (χωρις χρηση De hospital)

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

antegeia
Δημοσιεύσεις: 126
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 31, 2009 3:10 pm

Υπολογισμος οριων (χωρις χρηση De hospital)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από antegeia » Τετ Ιούλ 14, 2010 1:16 pm

Nα υπολογιστουν τα παρακατω ορια

α)\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2n}}(\frac{sinx}{sin\pi/2n})^{\frac{1}{cosnx}}

β)\lim_{x\rightarrow\pi/4+}(\frac{sinx+cosx}{\sqrt2})^{\frac{1}{\sqrt{x-\pi/4}}}

γ)\lim_{x\rightarrow\pi/2+}\frac{tanx-ln(x-\pi/2)}{x-\pi/2}


ZITAVITA
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 25, 2008 7:52 pm

Re: Υπολογισμος οριων (χωρις χρηση De hospital)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZITAVITA » Τετ Ιούλ 14, 2010 5:44 pm

Ισως κάνω κάποιο λάθος γιατί τα συγκεκριμένα (με απλή "αντικατάσταση") βγαίνουν δίχως DLH
α),β)\displaystyle{ 
1^{ + \infty }  = 1 
}
γ)\displaystyle{ 
{ + \infty } 
}


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμος οριων (χωρις χρηση De hospital)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιούλ 14, 2010 6:14 pm

Μία προσπάθεια για το β
Για χ κοντά δτο π/4 από δεξιά ισχύει
\displaystyle{{\left( {\frac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{\sqrt 2 }}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt {x - \frac{\pi }{4}} }}}} = {e^{\ln {{\left( {\frac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^{\frac{1}{{\sqrt {x - \frac{\pi }{4}} }}}}}} = {e^{\frac{1}{{\sqrt {x - \frac{\pi }{4}} }}\ln \left( {\frac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{\sqrt 2 }}} \right)}} = {e^{\sqrt {x - \frac{\pi }{4}}  \cdot \frac{{\ln \left( {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x} \right) - \ln \sqrt 2 }}{{x - \frac{\pi }{4}}}}}}

Ορίζουμε στην ίδια περιοχή και την \displaystyle{f\left( x \right) = \ln \left( {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - \eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}}
με
\displaystyle{f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{4}}^ + }} \frac{{\ln \left( {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x} \right) - \ln \sqrt 2 }}{{x - \frac{\pi }{4}}} = 0}

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{4}}^ + }} {\left( {\frac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{\sqrt 2 }}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt {x - \frac{\pi }{4}} }}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{4}}^ + }} {e^{\sqrt {x - \frac{\pi }{4}}  \cdot \frac{{\ln \left( {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x} \right) - \ln \sqrt 2 }}{{x - \frac{\pi }{4}}}}} = {e^{0 \cdot 0}} = 1}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμος οριων (χωρις χρηση De hospital)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιούλ 14, 2010 6:31 pm

Μια προσπάθεια για το α

\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{{2n}}} {(\frac{{sinx}}{{sin\pi /2n}})^{\frac{1}{{cosnx}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{{2n}}} {e^{\displaystyle\frac{1}{{cosnx}}\ln \left( {\frac{{sinx}}{{sin\pi /2n}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{{2n}}} {e^{\displaystyle\frac{{\ln \sin x - \ln \sin \frac{\pi }{{2n}}}}{{\cos nx}}}} = }

\displaystyle{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{{2n}}} {e^{\displaystyle\frac{1}{n} \cdot \frac{{\frac{{\ln \sin x - \ln \sin \frac{\pi }{{2n}}}}{{x - \frac{\pi }{{2n}}}}}}{{\frac{{\cos nx - \cos \frac{\pi }{2}}}{{n\left( {x - \frac{\pi }{{2n}}} \right)}}}}}} = {e^{\displaystyle\frac{{\sigma \varphi \frac{\pi }{{2n}}}}{{ - n\eta \mu \frac{\pi }{2}}}}} = {e^{\displaystyle\frac{{\sigma \varphi \frac{\pi }{{2n}}}}{{ - n}}}}}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης