Υπολογισμος οριων (χωρις χρηση De hospital)

antegeia · #1

Nα υπολογιστουν τα παρακατω ορια

α) $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2n}}(\frac{sinx}{sin\pi/2n})^{\frac{1}{cosnx}}$

β) $\lim_{x\rightarrow\pi/4+}(\frac{sinx+cosx}{\sqrt2})^{\frac{1}{\sqrt{x-\pi/4}}}$

γ) $\lim_{x\rightarrow\pi/2+}\frac{tanx-ln(x-\pi/2)}{x-\pi/2}$

ZITAVITA · #2

Ισως κάνω κάποιο λάθος γιατί τα συγκεκριμένα (με απλή "αντικατάσταση") βγαίνουν δίχως DLH
α),β) $\displaystyle{ 1^{ + \infty } = 1 }$
γ) $\displaystyle{ { + \infty } }$

mathxl · #3

Μία προσπάθεια για το β
Για χ κοντά δτο π/4 από δεξιά ισχύει
$\displaystyle{{\left( {\frac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{\sqrt 2 }}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt {x - \frac{\pi }{4}} }}}} = {e^{\ln {{\left( {\frac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^{\frac{1}{{\sqrt {x - \frac{\pi }{4}} }}}}}} = {e^{\frac{1}{{\sqrt {x - \frac{\pi }{4}} }}\ln \left( {\frac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{\sqrt 2 }}} \right)}} = {e^{\sqrt {x - \frac{\pi }{4}} \cdot \frac{{\ln \left( {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x} \right) - \ln \sqrt 2 }}{{x - \frac{\pi }{4}}}}}}$

Ορίζουμε στην ίδια περιοχή και την $\displaystyle{f\left( x \right) = \ln \left( {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - \eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}}$
με
$\displaystyle{f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{4}}^ + }} \frac{{\ln \left( {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x} \right) - \ln \sqrt 2 }}{{x - \frac{\pi }{4}}} = 0}$

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{4}}^ + }} {\left( {\frac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{\sqrt 2 }}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt {x - \frac{\pi }{4}} }}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{4}}^ + }} {e^{\sqrt {x - \frac{\pi }{4}} \cdot \frac{{\ln \left( {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x} \right) - \ln \sqrt 2 }}{{x - \frac{\pi }{4}}}}} = {e^{0 \cdot 0}} = 1}$

mathxl · #4

Μια προσπάθεια για το α

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{{2n}}} {(\frac{{sinx}}{{sin\pi /2n}})^{\frac{1}{{cosnx}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{{2n}}} {e^{\displaystyle\frac{1}{{cosnx}}\ln \left( {\frac{{sinx}}{{sin\pi /2n}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{{2n}}} {e^{\displaystyle\frac{{\ln \sin x - \ln \sin \frac{\pi }{{2n}}}}{{\cos nx}}}} = }$

$\displaystyle{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{{2n}}} {e^{\displaystyle\frac{1}{n} \cdot \frac{{\frac{{\ln \sin x - \ln \sin \frac{\pi }{{2n}}}}{{x - \frac{\pi }{{2n}}}}}}{{\frac{{\cos nx - \cos \frac{\pi }{2}}}{{n\left( {x - \frac{\pi }{{2n}}} \right)}}}}}} = {e^{\displaystyle\frac{{\sigma \varphi \frac{\pi }{{2n}}}}{{ - n\eta \mu \frac{\pi }{2}}}}} = {e^{\displaystyle\frac{{\sigma \varphi \frac{\pi }{{2n}}}}{{ - n}}}}}$

Υπολογισμος οριων (χωρις χρηση De hospital)

Υπολογισμος οριων (χωρις χρηση De hospital)

Re: Υπολογισμος οριων (χωρις χρηση De hospital)

Re: Υπολογισμος οριων (χωρις χρηση De hospital)

Re: Υπολογισμος οριων (χωρις χρηση De hospital)

Μέλη σε σύνδεση