Γατίσια άσκηση

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Γατίσια άσκηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Παρ Μαρ 27, 2009 11:29 pm

Συνάδελφοι και φίλοι μου καλησπέρα.
Ψάχνοντας βρήκα τη συνημένη άσκηση που μου φάνηκε αρκετά έξυπνη και επειδή αύριο θα βρεθούμε με κάποιον ΓΑΤΟ (Χρήστο το ραντεβού αύριο στις 15.30 στο γνωστό μέρος) αποφάσισα να την ονομάσω Γατίσια άσκηση.
Να είμαστε όλοι καλά
Θωμάς
Συνημμένα
askisi_04.png
askisi_04.png (38.61 KiB) Προβλήθηκε 1539 φορές


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6774
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Γατίσια άσκηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Μαρ 27, 2009 11:35 pm

Θωμά καλησπέρα! Ένα περίεργο πράγμα να πέφτεις πάντα μέσα...Κοίτα εδώ...viewtopic.php?f=55&t=647 !!! :) Αθάνατε Γ. ΜΠ...


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Γατίσια άσκηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Σάβ Μαρ 28, 2009 12:01 am

chris_gatos έγραψε:Θωμά καλησπέρα! Ένα περίεργο πράγμα να πέφτεις πάντα μέσα...Κοίτα εδώ...viewtopic.php?f=55&t=647 !!! :) Αθάνατε Γ. ΜΠ...
Χρήστο μη νομίζεις ότι θα μου γλυτώσεις, έχω πολλές γατίσιες ασκήσεις για σένα.
Στο συνημένο θα δεις μια τέτοια.
Θωμάς
Υ.Γ η γατίσια αυτή άσκηση είναι και για τον πατριώτη μου τον Βασίλη.
Αθάνατο Σιδηρόκαστρο με τις ομορφιές σου
Συνημμένα
askisi_05.png
askisi_05.png (46.81 KiB) Προβλήθηκε 1452 φορές


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6774
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Γατίσια άσκηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Μαρ 28, 2009 12:41 am

Πάμε για τη β)
Παίζοντας με τη δοσμένη ισότητα, έχουμε...
\displaystyle{\displaystyle  
\ln (\frac{{f(a) + f^{\prime}(a) + f^{\prime\prime}(a)}} 
{{e^a }}) = \ln \left( {\frac{{f(\beta ) + f^{\prime}(\beta ) + f^{\prime\prime}(\beta )}} 
{{e^\beta  }}} \right) 
} <=>\displaystyle{\displaystyle  
\frac{{f(a) + f^{\prime}(a) + f^{\prime\prime}(a)}} 
{{e^a }} = \frac{{f(\beta ) + f^{\prime}(\beta ) + f^{\prime\prime}(\beta )}} 
{{e^\beta  }}(1) 
}.
Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g με
\displaystyle{\displaystyle  
g(x) = \frac{{f(x) + f^{\prime}(x) + f^{\prime\prime}(x)}} 
{{e^x }},x \in \left[ {a,\beta } \right] 
} θα δούμε πως ικανοποιούνται οι συνθήκες του Θ.rolle(λόγω των δεδομένων και της (1)), απ'όπου παίρνουμε και το ζητούμενο μετά απο εύκολες πράξεις...( ουφ, πολύ prime βρε παιδιά!!)


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6774
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Γατίσια άσκηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Μαρ 28, 2009 1:50 am

Πάμε και για την α) με ένα μάτι...(το άλλο είναι κλειστό απο τη..νύστα!)
i) Η g είναι συνεχής στο [0,1], ως γινόμενο συνεχών...παραγωγίσιμη στο (0,1),ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g'(x)>0 για κάθε χ στο (0,1). (αφού μετά την παραγώγιση προκύπτει, άθροισμα θετικών όρων).
Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1].
ii) Λόγω του i) έχουμε
\displaystyle{\displaystyle  
0 \leqslant x \leqslant 1 \Leftrightarrow g(0) \leqslant g(x) \leqslant g(1) \Leftrightarrow 1 \leqslant g(x) \leqslant 2^{2007}  \Leftrightarrow \frac{1} 
{{2^{2007} }} \leqslant \frac{1} 
{{g(x)}} \leqslant 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x^{2006}  \geqslant 0} \frac{{x^{2006} }} 
{2^{2007}} \leqslant \frac{{x^{2006} }} 
{{g(x)}} \leqslant x^{2006}  \Leftrightarrow \frac{{x^{2006} }} 
{2^{2007}} \leqslant f(x) \leqslant x^{2006}  
}
απ'όπου ολοκληρώνοντας (f συνεχής ως πηλίκο συνεχών) προκύπτει
\displaystyle{\displaystyle  
\int\limits_0^1 {\frac{{x^{2006} }} 
{2^{2007}}} dx \leqslant \int\limits_0^1 {f(x)dx \leqslant \int\limits_0^1 {x^{2006} dx}  \Leftrightarrow \frac{1} 
{2007{2^{2007} }}}  \leqslant \int\limits_0^1 {f(x)dx \leqslant \frac{1} 
{{2007}}} (1) 
}.

Θεωρούμε τη συνάρτηση h με \displaystyle{\displaystyle  
h(x) = \int\limits_1^x {f(t)dt + f(x)} ,x \in \left[ {0,1} \right] 
}.
H h συνεχής στο [0,1] ως διαφορά συνεχών με \displaystyle{\displaystyle  
h(0) = \int\limits_1^0 {f(t)dt}  
} που λόγω της (1) είναι αρνητικός αριθμός( αφού το f(x)>0).
Ακόμη h(1)=f(1)>0, αρα ισχύουν οι προυποθέσεις του Θ bolzano, απ'όπου, λαμβάνουμε και το ζητούμενο...
Καληνύχτα σε όλους!


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης