Μέση τιμή

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Μέση τιμή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Απρ 03, 2009 7:02 pm

Έστω f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} συνεχής και x_{1}<\ldots<x_{n} στο [a,b]. Να δείξετε ότι υπάρχει y\in[a,b] τέθοιο ,ωστε f(y)=\frac{f(x_{1})+\ldots+f(x_{n})}{n}.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Μέση τιμή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Απρ 03, 2009 7:15 pm

Αναστάση νομίζω είναι απλή εφαρμογή του θεωρήματος μέγιστης και ελάχιστης τιμής
Πιο συγκεκριμένα επειδή η f είναι συνεχής στο κλειστό [α,β] θα έχει μία ελάχιστη τιμή m και μία μέγιστη Μ, ώστε να ισχύει \displaystyle{\begin{array}{l} 
 m \le f\left( x \right) \le M,\forall x \in \left[ {\alpha ,\beta } \right] \\  
 \left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x = {x_1}:m \le f\left( {{x_1}} \right) \le M}  \\ 
   {x = {x_2}:m \le f\left( {{x_2}} \right) \le M}  \\ 
   {....................................}  \\ 
   {x = {x_{_\nu }}:m \le f\left( {{x_\nu }} \right) \le M}  \\ 
\end{array}} \right\}\mathop  \Rightarrow \limits^ +  nm \le \sum\limits_{i = 1}^\nu  {f\left( {{x_i}} \right)}  \le nM \Leftrightarrow m \le \frac{{\sum\limits_{i = 1}^\nu  {f\left( {{x_i}} \right)} }}{n} \le M \\  
 \end{array}}
Άρα ο αριθμός \displaystyle{\frac{{\sum\limits_{i = 1}^\nu  {f\left( {{x_i}} \right)} }}{n}} ανήκει στο σύνολο τιμών της f, οπότε υπάρχει y που ανήκει στο [α,β] ώστε να ισχύει \displaystyle{f\left( y \right) = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^\nu  {f\left( {{x_i}} \right)} }}{n}}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μέση τιμή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Παρ Απρ 03, 2009 7:25 pm

Για να προχωρήσω λίγο το, κλασικό αλλά εντελώς απαραίτητο θέμα του Τάσου (ας θυμηθούμε τις εξετάσεις του 2000) θα ήθελα να συμπληρώσω ότι το αποδεικτέο ισχύει αν στην θέση του μέσου αριθμητικού των τιμών της f έχουμε άλλους μέσους (Για μερικούς υπό προυποθέσεις λ.χ. να έχουμε θετικές τιμές):
1) Σταθμικό μέσο με θετικά βάρη
2) Γεωμετρικό μέσο
3) Αρμονικό μέσο
κ.α κ.α
Θα είχε ενδιαφέρον να συγκεντρώσουμε αυτές τις περιπτώσεις για να τις έχουν στο αρχείο τους οι συνάδελφοι και να έχουν καλυμμένα τα νώτα τους.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μέση τιμή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Απρ 04, 2009 1:43 am

Με τις υποθέσεις του αρχικού μηνύματος του Α. Κοτρώνη ( η υπόθεση με πεδίο ορισμού ανοικτό διάστημα μπορεί να αντικατασταθεί με την υπόθεση να είναι απλώς διάστημα) και με διαδικασία παρόμοια με εκείνη που εξέθεσε ο Βασίλης έχουμε ότι οι εξισώσεις:
1) \displaystyle f\left( x\right) =\frac{1}{w_{1}+...+w_{n}}\left( w_{1}f\left( x_{1}\right) +...+w_{n}f\left( x_{n}\right) \right) με w_{i}>0
2) \displaystyle f\left( x\right) =\frac{1}{n}\left( f^{p}\left( x_{1}\right) +...+f^{p}\left( x_{n}\right) \right) ^{\frac{1}{p}} με f_{i}\left( x\right) >0. p>0
3) \displaystyle f\left( x\right) =\root{n}\of{f\left( x_{1}\right) ...f\left( x_{n}\right) } με f_{i}\left( x\right) >0
4) \displaystyle \displaystyle f\left( x\right) =\frac{n}{\frac{1}{f\left( x_{1}\right) }+...+\frac{1}{f\left( x_{n}\right) }} με f_{i}\left( x\right) >0
5) f\left( x\right) =\frac{f^{2}\left( x_{1}\right) +...+f^{2}\left( x_{n}\right) }{f\left( x_{1}\right) +...+f\left( x_{n}\right) }>0 με f_{i}\left( x\right) >0
έχουν λύση.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μέση τιμή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Απρ 04, 2009 7:10 am

Επίσης και η εξίσωση\displaystyle f(x)=\frac{\int_{a}^{b}{f(t)dt}}{b-a}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης