Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 9η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016-2017

Θέματα της 2ης φάσης για την 9η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 240 λεπτά.

1. Στον ζωολογικό κήπο υπάρχουν 10 ελέφαντες και τεράστια ζυγαριά (δυο ζυγών). Είναι γνωστο ότι, αν οποιοιδήποτε τέσσερεις ελέφαντες ανέβουν στον αριστερό ζυγό και οποιοιδήποτε τρεις στο δεξί ζυγό, τότε ο ζυγός γέρνει αριστερά. Πέντε ελέφαντες ανέβηκαν στον αριστερό ζυγό και τέσσερεις στο δεξιό. Οποσδήποτε η ζυγαριά θα γύρει προς τα αριστερά σε αυτή την περίπτωση;

2. Στον πίνακα είναι γραμμένοι διψήφιοι αριθμοί. Κάθε αριθμός είναι σύνθετος αλλά οποιοιδήποτε δυο από αυτούς είναι πρώτοι μεταξύ τους. Ποιό είναι το μέγιστο πλήθος γραμμένων αριθμών στον πίνακα;

3. Στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC

φέρουμε τα ύψη

και

. Τα σημεία

και

είναι τα ίχνη των καθέτων από τα

και

προς την

. Να δείξετε ότι ME=DN

.

4. Ποιός αριθμός είναι μεγαλύτερος ο

$\sqrt{2016} +\sqrt{2015+\sqrt{2016}}$ ή

$\sqrt{2015} +\sqrt{2016+\sqrt{2015}}$ ;

5. Ο Έρμαν και ο Τσεκαλίνσκι(*) τοποθέτσησαν στο τραπέζι 13 διαφορετικά τραπουλόχαρτα. Κάθε τραπουλόχαρτο μπορεί να βρίσκεται σε δυο πιθανές καταστάσεις: με το "πρόσωπο" πάνω ή κάτω. Οι πάικτες με την σειρά πρέπει να αναποδογυρίσουν από ένα χαρτί. Χάνει αυτός ο παίκτης , μετά την κίνηση του οποίου εμφανίζεται στο τραπέζι κάποια από της προηγούμενες κατατάσεις των χαρτιών (της αρχικής συμπεριλαμβανομένης). Την πρώτη κίνηση την έκανε ο Τσεκαλίνσκι. Ποιός μπορεί να κερδίσει ανεξάρτητα το τι θα κάνει ο άλλος;

6. Τα ύψη μη ισοσκελούς οξυγώνιου τριγώνου ABC

τέμνονται στο σημείο

και

το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου BHC

. Αν το κέντρο

του εγγεγραμμένου κύκλου του ABC

κείται επί της

, να βρείτε την γωνία BAC

.

(*) Ήρωες της νουβέλας Ντάμα Πίκα του Αλεξάντερ Πούσκιν. Ο Έρμαν, αξιωματικός του ρωσικού στρατού γερμανικής καταγωγής, βλέπει συνέχεια τους άλλους αξιωματικούς καθέ βράδυ να τσογάρουν αλλά δεν συμμετέχει ποτέ ο ίδιος. Μια μέρα μαθαίνει από τον εγγονό της Άννας Φεδόντοβνα ότι αυτή, όταν ήταν νέα, έμαθε ένα κόλπο με τρία νικηφόρα χαρτιά, που το έμαθε από τον διαβόητο κόμη του Σαντ Ζερμεν και κέρδισε ένα μεγάλο ποσό. Προσπαθεί από τότε μανιοδώς να μάθει το μυστικό...μαθαίνοντάς το εν τέλη πάει στο σαλούν του Τσεκαλίνσκι όπου εύποροι μαζεύονταν και τσόγαραν μεγάλα ποσά και άρχισε να παίζει και ο ίδιος ποντάροντας όλη του την περιουσία...

..ωραία νουβέλα για όποιον ενδιαφέρεται να την διαβάσει...έχει γίνει και οπερατική απόδοση από τον Τσαϊκόφσκι.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016-2017

Θέματα της 2ης φάσης για την 9η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 240 λεπτά.
3. Στο οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε τα ύψη και . Τα σημεία και είναι τα ίχνη των καθέτων από τα και προς την . Να δείξετε ότι .

Μήπως έπεσε και πριν 28 χρόνια , επί Σοβιετικής Ένωσης;

viewtopic.php?f=112&t=44157&p=206641&hi ... 82#p206641

Al.Koutsouridis · #3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Μήπως έπεσε και πριν 28 χρόνια , επί Σοβιετικής Ένωσης;

viewtopic.php?f=112&t=44157&p=206641&hi ... 82#p206641

Όντως

. Αν και νομίζω ότι το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι πολύ εύκολο για την τελική φάση (5η τότε, τώρα είναι 4). Περισσότερο ταιριάζει εδώ για την 2η φάση που είναι σε επίπεδο πόλης, μικρής περιφέρειας.

Πάντως συναντάται (δε θα το έλεγα συχνά) αυτό το φαινόμενο στην Ρωσία να εμφανίζονται παλιότερα προβλήματα ξανά σε διαγωνισμούς.

JimNt. · #4

Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016-2017

Θέματα της 2ης φάσης για την 9η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 240 λεπτά.

2. Στον πίνακα είναι γραμμένοι διψήφιοι αριθμοί. Κάθε αριθμός είναι σύνθετος αλλά οποιοιδήποτε δυο από αυτούς είναι πρώτοι μεταξύ τους. Ποιό είναι το μέγιστο πλήθος γραμμένων αριθμών στον πίνακα;

Έστω

το πλήθος των διψηφίων αριθμών. Αρχικά είναι $n \le 90$ . Πρέπει όμως να αφαιρέσουμε όλους τους πρώτους μεταξύ στο διάστημα [10,99]

. Που είναι 25-4=21

σε αριθμό. Άρα παίρνουμε $n \le 69$ . Πρέπει επίσης όμως επειδή οι αριθμοί είναι αν δύο πρώτοι μεταξύ τους να αφαιρέσουμε όλους τους άρτιους και επειδή θέλουμε το μέγιστο πλήθος αριθμών, μπορούμε να κρατήσουμε ένα πολ. του

με την προϋπόθεση ότι θα είναι πρώτος σχετικά με καθέναν από τους άλλους αριθμούς του πίνακα. Έτσι είναι $n \le 69-44=25$ . Αφαιρούμε όλα τα πολ. του

της μορφής

(με

περιττό) και κρατάμε με όμοιο τρόπο ένα πολ.του

. Είναι $n \le 25-14=11$ . Εκτελούμε την ίδια διαδικασία με το

(

, με

και το

,με

(προσέχοντας να κρατάμε ένα πολ. τους κάθε φορά). Έτσι προκύπτει $n \le 11-5-2=4$ . Και επειδή κάθε σύνθετος της μορφής

με $p\ge 11$ m < 10

( $pm \le 99$ ), έχει συμπεριληφθεί και είναι επίσης $p^{2}>99$ , τελειώσαμε με τις περιπτώσεις. Προκύπτει λοιπόν, ότι το μέγιστο πλήθος αριθμών στο πίνακα είναι

. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι υπάρχει τέτοια τετράδα. Έχουμε μείνει με την εξης τετράδα από τα προηγούμενα βήματα: 2f, 3g, 5h, 7l

, της οποίας οι όροι πρέπει να είναι πρώτοι αν δύο. Αρκεί λοιπόν να βρούμε κατάλληλους f,g,h,l

έτσι ώστε να ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

(2,g)=(2,h)=(2,l)=(3,f)=(3,h)=(3,l)=(5,f)=(5,g)=(5,l)=(7,f)=(7,h)=(7,g)=1

Μια τέτοια τετράδα είναι η : 16,27,25,49

. Τελειώσαμε.

JimNt. · #5

Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016-2017

4. Ποιός αριθμός είναι μεγαλύτερος ο

$\sqrt{2016} +\sqrt{2015+\sqrt{2016}}$ ή

$\sqrt{2015} +\sqrt{2016+\sqrt{2015}}$ ;

$A=\sqrt{2016} +\sqrt{2015+\sqrt{2016}}$ $B=\sqrt{2015} +\sqrt{2016+\sqrt{2015}}$ Θα δείξουμε ότι A>B

. Ισχύει ότι για a,b>0

, αν

, τότε $a^{2}>b^{2}$ και το αντίθετο. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι $A^{2}>B^{2}$ . Θέτωντας x=2015

, έχουμε $A^{2}>B^{2}$ $\Leftrightarrow$ $2x+1+\sqrt{x+1}+2\sqrt{x(x+1)+(x+1)\sqrt{x+1}}>2x+1+\sqrt{x}+2\sqrt{x(x+1)+x\sqrt{x}}$ .Πρέπει λοιπόν να δείξουμε ότι $\sqrt{x+1}+2\sqrt{x(x+1)+(x+1)\sqrt{x+1}}>\sqrt{x}+2\sqrt{x(x+1)+x\sqrt{x}}$ (1)

Είναι:

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+1}>\sqrt{x}$ (2)

Είναι

. Πολ/οντας κατά μέλη με την (2)

προκύπτει:
$(x+1)\sqrt{x+1}>x\sqrt{x}$ $\Leftrightarrow$ $x(x+1)+(x+1)\sqrt{x+1}>x(x+1)+x\sqrt{x}$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{x(x+1)+(x+1)\sqrt{x+1}}>\sqrt{x(x+1)+x\sqrt{x}}$ $\Leftrightarrow$ $2\sqrt{x(x+1)+(x+1)\sqrt{x+1}}>2\sqrt{x(x+1)+x\sqrt{x}}$ (3)

. Με πρόσθεση κατά μέλη των (2)

+

προκύπτει η ζητούμενη (1)

. Άρα $A^{2}>B^{2}$ $\Leftrightarrow$ A>B

#6

Al.Koutsouridis έγραψε:
2. Στον πίνακα είναι γραμμένοι διψήφιοι αριθμοί. Κάθε αριθμός είναι σύνθετος αλλά οποιοιδήποτε δυο από αυτούς είναι πρώτοι μεταξύ τους. Ποιό είναι το μέγιστο πλήθος γραμμένων αριθμών στον πίνακα;

Για κάθε αριθμό που είναι γραμμένος στον πίνακα, καταγράφουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη του. Όλοι αυτοί οι πρώτοι διαιρέτες είναι διαφορετικοί (γιατί;) και μικρότεροι ή ίσοι του

(γιατί;). Άρα μπορούν να υπάρχουν το πολύ

τέτοιοι πρώτοι διαιρέτες και άρα το πολύ

αριθμοί γραμμένοι στον πίνακα.

Υπάρχουν αρκετά παραδείγματα όπου μπορούμε να έχουμε τέσσερις αριθμούς. Ένα τέτοιο έχει δοθεί σε προηγούμενη ανάρτηση.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #7

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016-2017

Θέματα της 2ης φάσης για την 9η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 240 λεπτά.
3. Στο οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε τα ύψη και . Τα σημεία και είναι τα ίχνη των καθέτων από τα και προς την . Να δείξετε ότι .
Μήπως έπεσε και πριν 28 χρόνια , επί Σοβιετικής Ένωσης;

viewtopic.php?f=112&t=44157&p=206641&hi ... 82#p206641

Προκριματικός Ελβετίας, 2003

viewtopic.php?f=58&t=34741#p267663

Friedoon · #8

1ο Θέμα
Έστω $x_1,x_2,\ldots,x_{10}$ τα βάρη των

ελεφάντων σε αύξουσα σειρά.Θα μελετήσουμε τη περίπτωση που:
$x_1=n,x_2=n+1,\ldots,x_{10}=n+9$
Τότε από την υπόθεση παίρνουμε πως $4n+6 > 3n+24 \Rightarrow n>18$ .
Αν n=19

έχουμε

ενώ $x_{10}+x_9+x_8+x_7=106$ .
Άρα η ζυγαριά δεν θα γύρει οπωσδήποτε προς τα αριστερά

#9

Al.Koutsouridis έγραψε: 5. Ο Έρμαν και ο Τσεκαλίνσκι(*) τοποθέτσησαν στο τραπέζι 13 διαφορετικά τραπουλόχαρτα. Κάθε τραπουλόχαρτο μπορεί να βρίσκεται σε δυο πιθανές καταστάσεις: με το "πρόσωπο" πάνω ή κάτω. Οι πάικτες με την σειρά πρέπει να αναποδογυρίσουν από ένα χαρτί. Χάνει αυτός ο παίκτης , μετά την κίνηση του οποίου εμφανίζεται στο τραπέζι κάποια από της προηγούμενες κατατάσεις των χαρτιών (της αρχικής συμπεριλαμβανομένης). Την πρώτη κίνηση την έκανε ο Τσεκαλίνσκι. Ποιός μπορεί να κερδίσει ανεξάρτητα το τι θα κάνει ο άλλος;

Κερδίζει ο Τσεκαλίνσκι ως εξής: Γυρίζει πάντα το ίδιο τραπουλόχαρτο.

Ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι ο Τσεκαλίνσκι γυρίζει πάντα το ίδιο τραπουλόχαρτο και ότι μετά από κάποια κίνησή του χάνει. Αυτό σημαίνει ότι καταλήγει σε μια κατάσταση

η οποία εμφανίστηκε ξανά. Ας γράψουμε

για την κατάσταση που βρίσκονταν τα τραπουλόχαρτα αμέσως πριν την τελευταία κίνηση του Τσεκαλίνσκι.

Θεωρούμε την προηγούμενη εμφάνιση της κατάστασης

. Αν αυτή η κατάσταση προήλθε από κίνηση του Τσεκαλίνσκι αυτό σημαίνει ότι αμέσως προηγουμένως είχε εμφανιστεί και η

. Άρα θα είχε ήδη χάσει ο Έρμαν, άτοπο. Αν αυτή η κατάσταση προήλθε από κίνηση του Έρμαν αυτό σημαίνει ότι αμέσως μετά ο Τσεκαλίνσκι έφερε την κατάσταση

. Άρα όταν ο Έρμαν στην τελευταία του κίνηση έφερε την κατάσταση

θα είχε ήδη χάσει, πάλι άτοπο.

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 9η τάξη)

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙΙΦ 9η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση