EGMO 2017 Μέρα 2η

#1

Πρόβλημα 4: Έστω ακέραιος $n \geqslant 1$ και θετικοί ακέραιοι $t_1 < t_2 < \cdots < t_n$ . Σε μια ομάδα από $t_{n}+1$ άτομα, παίχτηκαν κάποια παιχνίδια σκάκι. Δύο άτομα μπορεί να παίξουν μεταξύ τους το πολύ μια φορά. Να αποδείξετε ότι είναι δυνατόν οι ακόλουθες δύο συνθήκες να ισχύουν ταυτόχρονα:
(α) Ο αριθμός των παιγνιδιών που έγιναν από κάθε άτομο είναι ένας αριθμός από τους $t_1,t_2,\ldots,t_n$ .
(β) Για κάθε

με $1 \leqslant i \leqslant n$ , υπάρχει κάποιος που έχει παίξει ακριβώς t_i

παιχνίδια σκάκι.

Πρόβλημα 5: Έστω ακέραιος $n \geqslant 2$ . Μια

-άδα $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ από θετικούς ακεραίους, όχι
κατ' ανάγκη διαφορετικούς , λέγεται ακριβή αν υπάρχει ένας θετικός ακέραιος

έτσι ώστε

$\displaystyle{ (a_1+a_2)(a_2+a_3) \cdots (a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1) = 2^{2k-1}}$

(α) Να βρείτε όλους τους ακέραιους $n \geqslant 2$ για τους οποίους υπάρχει μια ακριβή

-άδα.
(β) Να αποδείξετε ότι για κάθε περιττό θετικό αριθμό

υπάρχει ένας ακέραιος $n \geqslant 2$ έτσι ώστε ο

να ανήκει σε μια ακριβή

-άδα.

Πρόβλημα 6: Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC

στο οποίο δεν υπάρχουν δύο πλευρές με ίσο μήκος. Τα συμμετρικά σημεία του κέντρου βάρους

και του περίκεντρου

του τριγώνου ABC

ως προς τις πλευρές του BC, CA , AB

είναι τα σημεία G_1,G_2,G_3

και

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων G_1 G_2 C

,

και

έχουν ένα κοινό σημείο.

#2

Demetres έγραψε:Πρόβλημα 4: Έστω ακέραιος $n \geqslant 1$ και θετικοί ακέραιοι $t_1 < t_2 < \cdots < t_n$ . Σε μια ομάδα από $t_{n}+1$ άτομα, παίχτηκαν κάποια παιχνίδια σκάκι. Δύο άτομα μπορεί να παίξουν μεταξύ τους το πολύ μια φορά. Να αποδείξετε ότι είναι δυνατόν οι ακόλουθες δύο συνθήκες να ισχύουν ταυτόχρονα:
(α) Ο αριθμός των παιγνιδιών που έγιναν από κάθε άτομο είναι ένας αριθμός από τους $t_1,t_2,\ldots,t_n$ .
(β) Για κάθε με $1 \leqslant i \leqslant n$ , υπάρχει κάποιος που έχει παίξει ακριβώς παιχνίδια σκάκι.

Με επαγωγή στο

. Για

είναι άμεσο αφού βάζουμε τα t_n+1

άτομα να παίξουν όλοι με όλους.

Χωρίζουμε τα t_n+1

άτομα σε ένα σύνολο

από

άτομα, σε ένα σύνολο

από $t_n-t_{n-1}$ άτομα και σε ένα σύνολο

από τα υπόλοιπα $t_{n-1}-t_1+1$ άτομα.

Στο σύνολο

κανονίζουμε τα παιγνίδια ώστε ο αριθμός των παιγνιδιών που έγιναν από κάθε άτομο είναι ένας αριθμός από τους $t_2-t_1,\ldots,t_{n-1}-t_1$ και επιπλέον για κάθε

με $2 \leqslant i \leqslant n-1$ , υπάρχει κάποιος που έχει παίξει ακριβώς t_i-t_1

παιχνίδια σκάκι. Οι παίκτες του συνόλου

παίζουν με όλοι με όλους συμπεριλαμβανομένων και αυτών των συνόλων

και

. Τέλος οι παίκτες του συνόλου

δεν παίζουν άλλα παιγνίδια πέραν αυτών με τα άτομα του συνόλου

.

Παρατηρούμε τώρα ότι αν λάβουμε υπόψη όλους τους αγώνες:
Ο αριθμός των παιγνιδιών που έγιναν από κάθε άτομο του

είναι ένας αριθμός από τους $t_2,\ldots,t_{n-1}$ και επιπλέον για κάθε

με $2 \leqslant i\leqslant n-1$ , υπάρχει κάποιος που έχει παίξει ακριβώς t_i

παιχνίδια σκάκι.
Κάθε άτομο στο

(το οποίο είναι μη κενό) έπαιξε t_n

παιγνίδια σκάκι.
Κάθε άτομο στο

(το οποίο είναι μη κενό) έπαιξε t_1

παιγνίδια σκάκι.

[Στην περίπτωση n=2

το

έχει ακριβώς ένα άτομο το οποίο παίζει παιγνίδια μόνο με τα άτομα του

. Δηλαδή παίζει συνολικά t_1

παιγνίδια.]

Γιάννης Μπόρμπας · #3

Στο πρόβλημα 5 για περιττό

παίρνουμε

. Για άρτιο

οι αριθμοί έχουν ακριβώς την ίδια μέγιστη δύναμη του

που τους διαιρεί. Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι μετά την απλοποίηση είναι όλοι περιττοί. Τώρα μιας και μιλάμε για δυνάμεις του

ίσως συμφέρει να μεταφέρουμε τους αριθμούς στο δυαδικό σύστημα χρησιμοποιώντας με κάποιο τρόπο ότι κάθε άθροισμα γειτονικών είναι δύναμη του

. Αφήνω εδώ τις σκέψεις μου και ίσως να μου έχει έρθει κάτι τις επόμενες μέρες για να συμπληρώσω το υπόλοιπο. Διαφορετικά ολοκληρώστε την!

#4

Demetres έγραψε: Πρόβλημα 5: Έστω ακέραιος $n \geqslant 2$ . Μια -άδα $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ από θετικούς ακεραίους, όχι
κατ' ανάγκη διαφορετικούς , λέγεται ακριβή αν υπάρχει ένας θετικός ακέραιος έτσι ώστε

$\displaystyle{ (a_1+a_2)(a_2+a_3) \cdots (a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1) = 2^{2k-1}}$

(α) Να βρείτε όλους τους ακέραιους $n \geqslant 2$ για τους οποίους υπάρχει μια ακριβή -άδα.
(β) Να αποδείξετε ότι για κάθε περιττό θετικό αριθμό υπάρχει ένας ακέραιος $n \geqslant 2$ έτσι ώστε ο να ανήκει σε μια ακριβή -άδα.

Έχει ήδη παρατηρηθεί πιο πάνω ότι για

περιττό η ακολουθία $1,1,\ldots,1$ είναι ακριβή. Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχουν ακριβείς ακολουθίες για n=2m

άρτιο. Θα προχωρήσουμε με άπειρη κάθοδο. Έστω λοιπόν ότι υπάρχει μια ακριβή ακολουθία $a_1,\ldots,a_{2m}$ . Έστω
$\displaystyle{ (a_1 + a_2) \cdots (a_{2m}+a_1) = 2^{2k-1}}$
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, το $a_{2m-1}$ είναι το μέγιστο από τα $a_1,\ldots,a_{2m}$ . Βρίσκουμε

ώστε $2^r \leqslant a_{2m-1} < 2^{r+1}$ . Τότε πρέπει $a_{2m-2} = a_{2m} = 2^{r+1} - a_{2m-1}$ . Αλλά τότε
$\displaystyle{ (a_1 + a_2) \cdots (a_{2m-3}+a_{2m-2})(a_{2m-2} + a_1) = 2^{2k-1-2(r+1)} }$
οπότε η $a_1,\ldots,a_{2m-2}$ είναι επίσης ακριβή ακολουθία. Από άπειρη κάθοδο πρέπει να υπάρχει μια ακριβή ακολουθία a_1,a_2

που είναι άτοπο αφού θέλουμε $(a_1+a_2)^2 = 2^{2k+1}$ που δεν μπορεί να συμβεί.

Για το (β) θα προχωρήσουμε με ισχυρή επαγωγή στο

. Για

ασφαλώς υπάρχει τέτοια ακολουθία. Έστω ότι υπάρχει για κάθε περιττό

μικρότερο του

. Παίρνω

τέτοιο ώστε r < m

και

να είναι δύναμη του

. (Μπορώ αφού

περιττός.) Από την επαγωγική υπόθεση υπάρχει ακριβή ακολουθία $a_1,\ldots,a_n$ με a_n = k

. Τότε η $a_1,\ldots,a_n,m,a_n$ είναι επίσης ακριβή ακολουθία. Οπότε ο ισχυρισμός ισχύει για κάθε περιττό

.

EGMO 2017 Μέρα 2η

EGMO 2017 Μέρα 2η

Re: EGMO 2017 Μέρα 2η

Re: EGMO 2017 Μέρα 2η

Re: EGMO 2017 Μέρα 2η

Μέλη σε σύνδεση