Προετοιμασία θεωρία αριθμών (για JBMO)

Datis-Kalali · #1

Προβλήμα 1
Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις (x,y,z)

της εξίσωσης
$(x^2-15)^{2016}+y^{2016}=2017^z$

Προβλήμα 2
Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις (x,y,z)

της εξίσωσης
$\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{2}+(x+y+z)^3=1-xyz$

Προβλήμα 3
Αν x,y,z

είναι θετικοί ακέραιοι έτσι ώστε (xy+1)(yz+1)(zx+1)

είναι τέλειο τετράγωνο,
να δείξετε ότι οι αριθμοί xy+1

,

και

είναι επίσης τέλεια τετράγωνα

JimNt. · #2

Datis-Kalali έγραψε:Προβλήμα 1
Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης
$(x^2-15)^{2016}+y^{2016}=2017^z$

Το

δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\mod 2017$ . Συνεπώς, αν z>0

$2017^z \equiv 2 \mod 2017$ , άτοπο. Επομένως, z=0

$\Rightarrow$ $(x^2-15)^{2016}+y^{2016} =1$ $\Righarrow$ (x,y)=(4,0),(-4,0)

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

JimNt. έγραψε:
Το δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\mod 2017$

Η αιτιολόγηση:

Σύμφωνα με το σύμβολο Legendre

πρέπει $(\dfrac{15}{2017})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{5}{2017})(\dfrac{3}{2017})=-1$

Σύμφωνα με το νόμο τετραγωνικής αντιστροφής έχουμε ότι:

$(\dfrac{5}{2017})(\dfrac{2017}{5})=(-1)^{\dfrac{2017-1}{2}\cdot \dfrac{5-1}{2}}=1$

Όμοια έχουμε ότι:

$(\dfrac{3}{2017})(\dfrac{2017}{3})=(-1)^{\dfrac{2017-1}{2}\cdot \dfrac{3-1}{2}}=1$

Άρα $(\dfrac{5}{2017})=(\dfrac{2017}{5})$ και $(\dfrac{3}{2017})=(\dfrac{2017}{3})$

Άρα αρκεί να αποδείξουμε πως:

$(\dfrac{2017}{5})\cdot (\dfrac{2017}{3})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{2}{5})\cdot (\dfrac{1}{3})=-1\Leftrightarrow (-1)\cdot 1=-1$ που ισχύει.

JimNt. · #4

Datis-Kalali έγραψε: Προβλήμα 2
Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης
$\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{2}+(x+y+z)^3=1-xyz$

Παραγοντοποιείται (x+y+2z)(x+2y+z)(2x+y+z)=2

...

harrisp · #5

Datis-Kalali έγραψε: Προβλήμα 3
Αν είναι θετικοί ακέραιοι έτσι ώστε είναι τέλειο τετράγωνο,
να δείξετε ότι οι αριθμοί , και είναι επίσης τέλεια τετράγωνα

Νομίζω πως ξεφεύγει κατά πολύ από τους σκοπούς του θέματος.

Δείτε εδώ μια σχετική συζήτηση.

ΥΓ. Το έχεις ξαναπροτείνει εδώ

#6

JimNt. έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Προβλήμα 1
Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης
$(x^2-15)^{2016}+y^{2016}=2017^z$

Το δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\mod 2017$ . Συνεπώς, αν $2017^z \equiv 2 \mod 2017$ , άτοπο.

Είναι σωστό αυτό που ισχυρίζεσαι αλλά το έχεις γράψει πολύ πρόχειρα και βιαστικά.
Πρώτον, ο 2017

είναι πρώτος. Επειδή το

δεν είναι τετραγωνικό κατάλοιπο όπως εξήγησε ο Διονύσης, δεν μπορεί να ισχύει $2017\mid x^2-15$ .
Έπεται ότι αν z>0

δεν μπορεί $2017\mid y$ . Επομένως από το Θεώρημα του Fermat (μικρό) έχουμε ότι
$(x^2-15)^{2016}+y^{2016}\equiv 1+1\equiv 2\pmod{2017},$ άτοπο. Άρα z=0

.

Προετοιμασία θεωρία αριθμών (για JBMO)

Προετοιμασία θεωρία αριθμών (για JBMO)

Re: Προετοιμασία θεωρία αριθμών (για JBMO)

Re: Προετοιμασία θεωρία αριθμών (για JBMO)

Re: Προετοιμασία θεωρία αριθμών (για JBMO)

Re: Προετοιμασία θεωρία αριθμών (για JBMO)

Re: Προετοιμασία θεωρία αριθμών (για JBMO)

Μέλη σε σύνδεση