Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2015 (9 τάξη)

[Al.Koutsouridis]

LXXVIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2015 - 9η τάξη


Πρόβλημα 1. Υπάρχει άραγε φυσικός αριθμός τέτοιος, ώστε οι αριθμοί να ξεκινούν με το ίδιο ψηφίο, διάφορο του ένα; (Μπακάεβ)


Πρόβλημα 2. Σε κύκλο με κάποια σειρά είναι τοποθετημένοι όλοι οι φυσικοί αριθμοί από το 1 έως το 1000 με τέτοιο τρόπο, ώστε οποιοσδήποτε από τους αριθμούς να είναι διαιρέτης του αθροίσματος των δυο γειτονικών του. Είναι γνωστό, ότι δίπλα στον αριθμό βρίσκονται δυο περιττοί αριθμοί. Τι μπορεί να είναι ο αριθμός , περιττός ή άρτιος; (Φρένκιν)


Πρόβλημα 3. Κάθε μέρα ο Φρένκεν Μποκ φτιάχνει μια τετραγωνική τούρτα διαστάσεων . O Κάρλσον(*) αμέσως κόβει από αυτήν για τον εαυτό του τέσσερα τετραγωνικά κομμάτια διαστάσεων με πλευρές, παράλληλες προς τις πλευρές της τούρτας (όχι απαραίτητα κατά μήκος του πλέγματος). Μετά από αυτό ο Μικρούλης κόβει από τα εναπομείναντα κομμάτια της τούρτας τετραγωνικό κομμάτι με πλευρές, επίσης παράλληλες με τις πλευρές της τούρτας. Ποιο είναι το μεγαλύτερο κομμάτι τούρτας που μπορεί να υπολογίζει ο Μικρούλης ανεξάρτητα του τι θα κάνει ο Κάρλσον; (Μπακάεβ)


Πρόβλημα 4. Έστω και τα κέντρα του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου κύκλου του μη ισοσκελούς τριγώνου . Δυο ίσοι κύκλοι εφάπτονται των πλευρών και αντίστοιχα, καθώς και μεταξύ τους στο σημείο . Προέκυψε, ότι το σημείο είναι σημείο της ευθείας . Να βρείτε την γωνία . (Ευδοκίμοβ)


Πρόβλημα 5. Ο αυτοκράτορας κάλεσε σε μια γιορτή 2015 αυλικούς, μερικοί από τους οποίους είναι καλοί και οι υπόλοιποι μοχθηροί. Οι καλοί αυλικοί πάντα λένε την αλήθεια, οι μοχθηροί όμως, ότι τους βολεύει. Εξάλλου οι αυλικοί γνωρίζουν ποιοι είναι καλοί και ποιοι μοχθηροί αλλά ο αυτοκράτορας όχι.

Στην γιορτή ο αυτοκράτορας θέτει σε κάθε αυλικό (με όποια σειρά θέλει) μια ερώτηση, στην οποία μπορούν να απαντήσουν με ένα «ναι» ή «όχι». Ρωτώντας όλους του αυλικούς ο αυτοκράτορας διώχνει έναν. Ο εκδιωχθείς αυλικός εξέρχεται από την μαγική πύλη, και ο αυτοκράτορας αναγνωρίζει αν είναι καλός ή μοχθηρός. Έπειτα από την αρχή ο αυτοκράτορας θέτει σε καθένα από τους εναπομείναντες αυλικούς μια ερώτηση, πάλι διώχνει έναν, και ούτω καθεξής, μέχρι να αποφασίσει να σταματήσει (μπορεί να το κάνει μετά από κάθε ερώτηση).

Να αποδείξετε, ότι ο αυτοκράτορας μπορεί να διώξει όλους τους μοχθηρούς αυλικούς, έχοντας την απώλεια το πολύ ενός καλού αυλικού. (Μιτροφάνοβ)


Πρόβλημα 6. Υπάρχουν άραγε δυο πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές τέτοια, ώστε το καθένα να τους να έχει συντελεστή κατά απόλυτη τιμή μεγαλύτερο του 2015, αλλά όλοι οι συντελεστές του γινομένου τους να μην υπερβαίνουν κατά απόλυτη τιμή το 1; (Κάνελ - Μπέλοβ)



(*) Φιγούρες δημοφιλούς κινουμένου σχεδίου σοβιετικής εποχής. Μεταφορά από σειρά παιδικών βιβλίων της σουηδή συγγραφέας Astrid Lindgren.

[harrisp]

Πρόβλημα 2. Σε κύκλο με κάποια σειρά είναι τοποθετημένοι όλοι οι φυσικοί αριθμοί από το 1 έως το 1000 με τέτοιο τρόπο, ώστε οποιοσδήποτε από τους αριθμούς να είναι διαιρέτης του αθροίσματος των δυο γειτονικών του. Είναι γνωστό, ότι δίπλα στον αριθμό βρίσκονται δυο περιττοί αριθμοί. Τι μπορεί να είναι ο αριθμός , περιττός ή άρτιος; (Φρένκιν)

Έχουμε αρχικά ίσο αριθμό από άρτιους και περιττούς. Επίσης αν βάλουμε στην σειρά 2 άρτιους τοτε προφανώς όλοι οι υπόλοιποι αριθμοί θα είναι άρτιοι λόγω της συνθήκης. Έστω ότι ο είναι περιττός. Τότε έχουμε τρεις παραπάνω περιττούς και δεν μπορεί να επέλθει ισσοροπία αφού μετά από κάθε άρτιο (που τον ακολουθει περιττός αναγκαστικά) θέλουμε πάλι περιττό οπότε στην καλύτερη θα εχουμε εναν λιγότερο αρτιο από τους περιττούς ( τελειώνουμε με αρτιο).

Αρα ο ειναι αρτιος (τοτε απλα τελειωνουμε με δυο συνεχομενους αρτιους )

[Demetres]

Πρόβλημα 5. Ο αυτοκράτορας κάλεσε σε μια γιορτή 2015 αυλικούς, μερικοί από τους οποίους είναι καλοί και οι υπόλοιποι μοχθηροί. Οι καλοί αυλικοί πάντα λένε την αλήθεια, οι μοχθηροί όμως, ότι τους βολεύει. Εξάλλου οι αυλικοί γνωρίζουν ποιοι είναι καλοί και ποιοι μοχθηροί αλλά ο αυτοκράτορας όχι.

Στην γιορτή ο αυτοκράτορας θέτει σε κάθε αυλικό (με όποια σειρά θέλει) μια ερώτηση, στην οποία μπορούν να απαντήσουν με ένα «ναι» ή «όχι». Ρωτώντας όλους του αυλικούς ο αυτοκράτορας διώχνει έναν. Ο εκδιωχθείς αυλικός εξέρχεται από την μαγική πύλη, και ο αυτοκράτορας αναγνωρίζει αν είναι καλός ή μοχθηρός. Έπειτα από την αρχή ο αυτοκράτορας θέτει σε καθένα από τους εναπομείναντες αυλικούς μια ερώτηση, πάλι διώχνει έναν, και ούτω καθεξής, μέχρι να αποφασίσει να σταματήσει (μπορεί να το κάνει μετά από κάθε ερώτηση).

Να αποδείξετε, ότι ο αυτοκράτορας μπορεί να διώξει όλους τους μοχθηρούς αυλικούς, έχοντας την απώλεια το πολύ ενός καλού αυλικού. (Μιτροφάνοβ)

Θα δείξω ότι μετά από κάθε γύρο θα συμβαίνει ένα από τα πιο κάτω:

(α) Μέχρι στιγμής έχουν φύγει μόνο μοχθηροί αυλικοί.
(β) Έχει φύγει ακριβώς ένας καλός αυλικός και γνωρίζω ότι όλοι οι υπόλοιποι είναι μοχθηροί.
(γ) Έχει φύγει ακριβώς ένας καλός αυλικός και γνωρίζω έναν άλλο αυλικό ο οποίος είναι καλός.

Ας υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε στην περίπτωση (α). Έστω ένας οποιοσδήποτε αυλικός τον οποίο ονομάζω . Ρωτάω κάθε άλλο αυλικό αν ο είναι καλός, μέχρι να ακούσω την απάντηση «ΝΑΙ».

Περίπτωση 1: Άκουσα μόνο «ΟΧΙ». Διώχνω τότε τον αυλικό .
Περίπτωση 1Α: Ο είναι μοχθηρός. Τότε εξακολουθώ να βρίσκομαι στην περίπτωση (α).
Περίπτωση 1B: Ο είναι καλός. Τότε όλοι οι υπόλοιποι είναι μοχθηροί και βρίσκομαι στην περίπτωση (β).

Περίπτωση 2: Άκουσα «ΝΑΙ» από κάποιον αυλικό, έστω τον . Δεν κάνω άλλες ερωτήσεις και διώχνω των .
Περίπτωση 2Α: Ο είναι μοχθηρός. Τότε εξακολουθώ να βρίσκομαι στην περίπτωση (α).
Περίπτωση 2Β: Ο είναι καλός. Τότε και ο είναι καλός και άρα βρίσκομαι στην περίπτωση (α).

Οπότε από την (α) πάω σίγουρα σε κάποια από τις (α),(β),(γ). Οι περιπτώσεις (β) και (γ) είναι πιο εύκολες.

Στην (β) διώχνω όλους τους αυλικούς έναν προς έναν μέχρι να μην μείνει κανείς. Στο τέλος κάθε γύρου θα εξακολουθώ να είμαι στο (β).

Στην (γ), έστω ο καλός αυλικός και οι υπόλοιποι αυλικοί που έχουν μείνει. Για κάθε , ρωτάω των αν ο είναι καλός μέχρι να εισπράξω το πρώτο «ΟΧΙ».

Περίπτωση 1: Δεν άκουσα κανένα «ΟΧΙ». Τότε όλοι οι αυλικοί που έμειναν είναι καλοί και σταματάω να διώχνω.
Περίπτωση 2: Άκουσα ένα «ΟΧΙ» έστω στην ερώτηση . Τότε οι είναι καλοί και ο μοχθηρός. Διώχνω τον και εξακολουθώ να βρίσκομαι στην περίπτωση (γ).

[Demetres]

LXXVIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2015 - 9η τάξη


Πρόβλημα 1. Υπάρχει άραγε φυσικός αριθμός τέτοιος, ώστε οι αριθμοί να ξεκινούν με το ίδιο ψηφίο, διάφορο του ένα; (Μπακάεβ)

Ευκολάκι. Η απάντηση είναι ΝΑΙ. Π.χ. ο . Είναι και ο οποίος επίσης ξεκινάει από . (Είναι .)