Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18. Θέματα της 3η φάσης για την 11η τάξη.

Πρώτη μέρα

1. Στο εσωτερικό κυρτού πενταγώνου σημειώθηκε σημείο και ενώθηκε με όλες τις κορυφές του. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός εκ των δέκα τμημάτων (πέντε πλευρές και τα πέντε τμήματα, που ενώνουν το δοθέν σημείο με τις κορυφές του πενταγώνου) που μπορεί να έχουν μήκος

;

2. Σε κάθε κελί ενός πίνακα $1001 \times 1001$ τοποθετήθηκε είτε το

είτε το

. Προέκυψε, ότι σε οποιαδήποτε στήλη τα μηδενικά είναι περισσότερα από τις μονάδες. Άραγε οπωσδήποτε θα βρεθούν δυο στήλες τέτοιες, ώστε ο αριθμός των γραμμών, στη τομή των οποίων με αυτές τις στήλες είναι τοποθετημένα μόνο μηδενικά, είναι μεγαλύτερος του αριθμού των γραμμών, στη τομή των οποίων με αυτές τις στήλες είναι τοποθετημένες μόνο μονάδες;

3. Δίνεται μη ισοσκελές τρίγωνο ABC

, στο οποίο $\angle B = 135^0$ . Έστω

το μέσο της πλευράς

. Το σημείο

είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου $\Omega$ του τριγώνου ABC

. Η χορδή

τέμνει σε ένα δεύτερο σημείο

το κύκλο $\Omega$ . Αποδείξτε, ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου $\Gamma$ του τριγώνου BOD

, βρίσκεται επί της ευθείας

.

4. Αρχικά στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί $1-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1+\sqrt{2}$ . Κάθε λεπτό όλοι οι αριθμοί x,y,z

που είναι γραμμένοι στον πίνακα σβήνονται και στη θέση τους γράφονται οι αριθμοί x^2+xy+y^2, y^2+yz+z^2, z^2+xz+x^2

. Μπορεί να προκύψει σε κάποια χρονική στιγμή και οι τρεις αριθμοί στον πίνακα να είναι ρητοί;

5. Θα ονομάσουμε βάρκα ένα τραπέζιο με βάσεις

και

που προκύπτει αν προσκολλήσουμε στις απέναντι πλευρές ενός μοναδιαίου τετραγώνου δυο τρίγωνα (μισό του τετραγώνου).

: varka.png (4.5 KiB) Προβλήθηκε 1778 φορές

Σε ένα τετράγωνο $100 \times 100$ είναι τοποθετημένη μια αόρατη βάρκα (μπορεί να περιστραφεί, δεν εξέρχεται από το όριο του τετραγώνου, το μεσαίο τετράγωνό της κείται εξ ολοκλήρου σε ένα από τα κελιά του τετραγώνου). Με μια βολή μπορούμε να χρωματίσουμε οποιοδήποτε τριγωνικό μισό ενός κελιού. Αν μια βολή τέμνεται με το εσωτερικό της βάρκας (δηλαδή η τομή του τριγώνου της βολής με την βάρκα έχει μη μηδενικό εμβαδόν), τότε αυτή θεωρείτε βυθισμένη. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός βολών που χρειάζονται, ώστε να είμαστε σίγουροι ότι η βάρκα βυθίστηκε;

Δεύτερη Μέρα

6. Ο Πέτρος διάλεξε ένα φυσικό αριθμό

και έγραψε στον πίνακα τα ακόλουθα κλάσματα

$\dfrac{0}{n}, \dfrac{1}{n-1}, \dfrac{2}{n-2}, \dfrac{3}{n-3}, \cdots , \dfrac{n-1}{n-(n-1)}$ .

Έστω ότι ο αριθμός

διαιρείτε με τον φυσικό αριθμό

. Να αποδείξετε, ότι μεταξύ των γραμμένων κλασμάτων θα βρεθεί κλάσμα, ίσο με το αριθμό d-1

.

7. Η συνάρτηση f(x)

που ορίζεται σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών και για κάθε πραγματικό

και

ικανοποιεί την συνθήκη

$f(x)+f(y)= 2f\left (\dfrac{x+y}{2}\right )f \left ( \dfrac{x-y}{2} \right )$ .

Αληθεύει, ότι η συνάρτηση f(x)

θα είναι οπωσδήποτε άρτια;

8. Να αποδείξετε, ότι θα βρεθεί τέτοιος φυσικός αριθμός $n > 10^{2018}$ , ώστε το άθροισμα όλων των πρώτων αριθμών, μικρότερων του

, θα είναι σχετικά πρώτο με τον

.

9. Σε ένα σύνολο 100

παιδιών, μερικά παιδιά είναι φίλοι (η φιλία είναι αμοιβαία). Είναι γνωστό, ότι αν αφαιρέσουμε οποιοδήποτε παιδί τα εναπομείναντα

παιδιά μπορούμε να τα χωρίσουμε σε

ομάδες των τριών παιδιών έτσι, ώστε σε κάθε ομάδα και τα τρία παιδιά ανά δυο να είναι φίλοι. Να βρείτε το μικρότερο δυνατό αριθμό ζευγών παιδιών που είναι φίλοι.

10. Στη σφαίρα $\omega_{1}$ σημειώθηκε σταθερό σημείο

και στη σφαίρα $\omega_{2}$ σταθερό σημείο

. Στη σφαίρα $\omega_{1}$ διαλέγουμε ένα μεταβλητό σημείο

και στη σφαίρα $\omega_{2}$ μεταβλητό σημείο

έτσι, ώστε AX || BY

. Να αποδείξετε, ότι το μέσο όλων των τμημάτων

που κατασκευάζονται με αυτό το τρόπο βρίσκονται σε μια σφαίρα.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Φεβ 03, 2018 11:02 pm Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18. Θέματα της 3η φάσης για την 11η τάξη.

7. Η συνάρτηση που ορίζεται σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών και για κάθε πραγματικό και ικανοποιεί την συνθήκη

$f(x)+f(y)= 2f\left (\dfrac{x+y}{2}\right )f \left ( \dfrac{x-y}{2} \right )$ .

Αληθεύει, ότι η συνάρτηση θα είναι οπωσδήποτε άρτια;

Θέτουμε

και έχουμε πως:

2f(x)=2f(x)f(0)

, άρα είτε f(0)=1

, είτε

για κάθε

.

Αν

, τότε πράγματι η συνάρτηση είναι άρτια (ή και περιττή;).

Έστω f(0)=1

.

Θέτουμε x=-y

και προκύπτει ότι:

$f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)\Leftrightarrow f(x)+f(-x)=2f(x)\Leftrightarrow f(x)=f(-x)$ .

Αν λοιπόν το πεδίο ορισμού είναι όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών τότε η f(x)

θα είναι άρτια.

harrisp · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Φεβ 03, 2018 11:02 pm Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18. Θέματα της 3η φάσης για την 11η τάξη.

6. Ο Πέτρος διάλεξε ένα φυσικό αριθμό και έγραψε στον πίνακα τα ακόλουθα κλάσματα

$\dfrac{0}{n}, \dfrac{1}{n-1}, \dfrac{2}{n-2}, \dfrac{3}{n-3}, \cdots , \dfrac{n-1}{n-(n-1)}$ .

Έστω ότι ο αριθμός διαιρείτε με τον φυσικό αριθμό . Να αποδείξετε, ότι μεταξύ των γραμμένων κλασμάτων θα βρεθεί κλάσμα, ίσο με το αριθμό .

Εστω

. Ολα τα κλάσματα είναι της μορφής $\dfrac {a}{n-a}$ ,

ακέραιος ώστε a<n

. Συνεπώς αφού $\displaystyle{n-k<n}$ θα υπάρχει το κλάσμα $\dfrac {n-k}{n-(n-k)}=\dfrac {dk-k}{k}=d-1$ και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Φεβ 03, 2018 11:02 pm Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18. Θέματα της 3η φάσης για την 11η τάξη.

Πρώτη μέρα

3. Δίνεται μη ισοσκελές τρίγωνο , στο οποίο $\angle B = 135^0$ . Έστω το μέσο της πλευράς . Το σημείο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου $\Omega$ του τριγώνου . Η χορδή τέμνει σε ένα δεύτερο σημείο το κύκλο $\Omega$ . Αποδείξτε, ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου $\Gamma$ του τριγώνου , βρίσκεται επί της ευθείας .

: ΠΑΝΡ. 2017-2018(ΙΙΙΦ 11).png (23.06 KiB) Προβλήθηκε 1690 φορές

Επειδή $\widehat B=135^0,$ το τρίγωνο AOC

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Έστω

το κέντρο του κύκλου (B, O, D)

και

η ακτίνα του κύκλου $(\Omega).$ Προφανώς το

βρίσκεται στη μεσοκάθετο του

η οποία διέρχεται από το

$\displaystyle {R^2} - O{M^2} = BM \cdot MD = O{K^2} - K{M^2} \Leftrightarrow 2O{M^2} - O{M^2} = O{K^2} - K{M^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle O{M^2} = O{K^2} - K{M^2} \Leftrightarrow KM \bot OM,$ άρα το

βρίσκεται πάνω στην AC.

#5

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Φεβ 03, 2018 11:02 pm
4. Αρχικά στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί $1-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1+\sqrt{2}$ . Κάθε λεπτό όλοι οι αριθμοί που είναι γραμμένοι στον πίνακα σβήνονται και στη θέση τους γράφονται οι αριθμοί . Μπορεί να προκύψει σε κάποια χρονική στιγμή και οι τρεις αριθμοί στον πίνακα να είναι ρητοί;

Όχι.

Ισχυρίζομαι ότι σε κάθε βήμα θα έχω αριθμούς της μορφής $a+b\sqrt{2}, c+d\sqrt{2},e$ όπου a,b,c,d

είναι περιττοί ακέραιοι. Στο πρώτο βήμα ισχύει αφού παίρνω τους αριθμούς $3-\sqrt{2},5,7+3\sqrt{2}$ . Για το επαγωγικό βήμα, αν έχω τους $a+b\sqrt{2}, c+d\sqrt{2},e$ με a,b,c,d,e

περιττούς, στο επόμενο βήμα παίρνω τους $(a^2+c^2+2b^2+2d^2+ac+2bd) + (ad+be+2ab+2cd)\sqrt{2}, (a^2+e^2+2b^2+ae) + (2ab+be)\sqrt{2}$ και $(c^2+e^2+2d^2+ce) + (2cd+de)\sqrt{2}$ οι οποίοι είναι της μορφής που ισχυρίζομαι.

#6

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Φεβ 03, 2018 11:02 pm Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18. Θέματα της 3η φάσης για την 11η τάξη.

Πρώτη μέρα
.......................
10. Στη σφαίρα $\omega_{1}$ σημειώθηκε σταθερό σημείο και στη σφαίρα $\omega_{2}$ σταθερό σημείο . Στη σφαίρα $\omega_{1}$ διαλέγουμε ένα μεταβλητό σημείο και στη σφαίρα $\omega_{2}$ μεταβλητό σημείο έτσι, ώστε . Να αποδείξετε, ότι το μέσο όλων των τμημάτων που κατασκευάζονται με αυτό το τρόπο βρίσκονται σε μια σφαίρα.

Καλημέρα.
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Σφαίρες 1.png (58.47 KiB) Προβλήθηκε 1612 φορές

Έστω ένα σταθερό σημείο $\displaystyle{A}$ στην πρώτη σφαίρα $\displaystyle{S_1(O_1,R)}$ και ένα σταθερό σημείο $\displaystyle{B}$ στη δεύτερη $\displaystyle{S_2(O_2,r)}$
Έστω επίσης οι παράλληλες χορδές $\displaystyle{AX, BY}$ αντίστοιχα στις σφαίρες αυτές $\displaystyle{S_1,S_2}$ .

Ζητούμε το γεωμετρικό τόπο του μέσου $\displaystyle{P}$ του τμήματος $\displaystyle{XY}$ .

Θεωρούμε τις παράλληλες από τα σημεία $\displaystyle{B,Y}$ προς τη διάκεντρο των σφαιρών $\displaystyle{O_1O_2}$ και πάνω σ' αυτές ορίζουμε αντίστοιχα τα σημεία $\displaystyle{K,\Lambda}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{B\Lambda=YK=O_1O_2 \ \ (1)}$

Ύστερα από αυτά εύκολα διαπιστώνεται ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{AXK\Lambda}$ είναι ένα τραπέζιο, δηλαδή:

$\displaystyle{A \Lambda=XK, \ \ (2)}$

Από τις σχέσεις (3) εύκολα προκύπτει ότι το σημείο $\displaystyle{O_1}$ ανήκει στο μεσοκάθετο επίπεδο του τμήματος $\displaystyle{AX}$ καθώς και του
τμήματος $\displaystyle{K\Lambda}$ , άρα το τραπέζιο $\displaystyle{AXK\Lambda}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Δηλαδή:

$\displaystyle{O_1A=O_1X,\ \ O_1\Lambda=OK \ \ (3)}$

Στη συνέχεια θεωρούμε το μέσον $\displaystyle{M}$ της διακέντρου $\displaystyle{O_1O_2}$ , καθώς επίσης και τα μέσα $\displaystyle{P,N}$ αντίστοιχα
των τμημάτων $\displaystyle{XY,}$ και $\displaystyle{AB}$ .

Θα δείξουμε ότι είναι:

$\displaystyle{MP=MN \ \ (4)}$

Αν, όπως φαίνεται από το σχήμα, δημιουργήσουμε τα τρίγωνα $\displaystyle{(MA_1B_1),\ \ ( MX_1Y_1)}$ , φέροντες από τα σημεία $\displaystyle{A,X, K, \Lambda}$
παράλληλα και ίσα τμήματα προς το ήμισυ της διακέντρου $\displaystyle{O_1O_2}$ , τότε εύκολα αποδείχνεται ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα, κι αυτό
διότι:
$\displaystyle{MA_1=MX_1=R, \ \ MB_1=MY_1=r, \ \ (5)}$

$\displaystyle{A_1B_1=A\Lambda=XK=X_1Y_1, \ \ (6)}$

Από την ισότητα των τριγώνων αυτών προκύπτει ότι:

$\displaystyle{MP=MN=ct \ \ (7)}$

καθόσον τα τμήματα αυτά $\displaystyle{MP, MN}$ είναι διάμεσοι των τριγώνων αυτών(εύκολα δείχνεται).

Από τη σχέση (7) συμπεραίνεται ότι το μεταβλητό σημείο $\displaystyle{P}$ , απέχει σταθερή σε μέγεθος απόσταση από το σταθερό σε θέση σημείο $\displaystyle{M}$
άρα θα ανήκει σε σφαίρα κέντρου $\displaystyle{M}$ και ακτίνας ίσης με $\displaystyle{MN}$ , όπου $\displaystyle{N}$ το μέσο του σταθερού μήκους $\displaystyle{AB}$ .

: Σφαίρες 2.png (86.01 KiB) Προβλήθηκε 1612 φορές

Στο ανωτέρω σχήμα φαίνεται η σφαίρα αυτή.

Κώστας Δόρτσιος

#7

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Φεβ 03, 2018 11:02 pm Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18. Θέματα της 3η φάσης για την 11η τάξη.

5. Θα ονομάσουμε βάρκα ένα τραπέζιο με βάσεις και που προκύπτει αν προσκολλήσουμε στις απέναντι πλευρές ενός μοναδιαίου τετραγώνου δυο τρίγωνα (μισό του τετραγώνου).
varka.png
Σε ένα τετράγωνο $100 \times 100$ είναι τοποθετημένη μια αόρατη βάρκα (μπορεί να περιστραφεί, δεν εξέρχεται από το όριο του τετραγώνου, το μεσαίο τετράγωνό της κείται εξ ολοκλήρου σε ένα από τα κελιά του τετραγώνου). Με μια βολή μπορούμε να χρωματίσουμε οποιοδήποτε τριγωνικό μισό ενός κελιού. Αν μια βολή τέμνεται με το εσωτερικό της βάρκας (δηλαδή η τομή του τριγώνου της βολής με την βάρκα έχει μη μηδενικό εμβαδόν), τότε αυτή θεωρείτε βυθισμένη. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός βολών που χρειάζονται, ώστε να είμαστε σίγουροι ότι η βάρκα βυθίστηκε;

Σε κάθε γραμμή $1 \times 5$ χρειαζόμαστε τουλάχιστον δύο βολές. Πράγματι αν πυροβολήσουμε μόνο μία βολή και η βολή δεν χτυπήσει στο μεσαίο κελί τότε δεν θα είμαστε σίγουροι ότι βυθίσαμε την βάρκα αφού αυτή μπορεί να βρίσκεται είτε στα πρώτα τρία κελιά, είτε στα τελευταία τρία κελιά. Έστω λοιπόν ότι κάναμε μια βολή στο μεσαίο κελί. Χωρίς βλάβη της γενικότητας στο τριγωνικό μισό με την ορθή γωνία κάτω αριστερά. Τότε δεν θα είμαστε σίγουροι ότι βυθίσαμε την βάρκα αφού αυτή μπορεί να βρίσκεται αναποδογυρισμένη στα τελευταία τρία κελιά.

Άρα χρειαζόμαστε τουλάχιστον $\frac{2}{5} \cdot 100^2 = 4000$ βολές. Αυτό επιτυγχάνεται ως εξής. Χωρίζουμε το τετράγωνο σε $5 \times 5$ τετράγωνα και σε κάθε ένα πυροβολάμε όπως στο σχήμα:

#8

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Φεβ 03, 2018 11:02 pm
8. Να αποδείξετε, ότι θα βρεθεί τέτοιος φυσικός αριθμός $n > 10^{2018}$ , ώστε το άθροισμα όλων των πρώτων αριθμών, μικρότερων του , θα είναι σχετικά πρώτο με τον .

Για κάθε ακέραιο $n \ge 3$ , συμβολίζουμε με $\displaystyle f\left( n \right)$ το άθροισμα των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι του

. Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει ακέραιος $n > 10^{2018}$ τέτοιος, ώστε $\displaystyle \left( {n,f\left( n \right)} \right) = 1.$

Έστω ότι το ζητούμενο δεν ισχύει. Τότε, για κάθε ακέραιο $n > 10^{2018}$ ισχύει $\displaystyle \left( {n,f\left( n \right)} \right) > 1.$ Ειδικότερα, για κάθε πρώτο αριθμό $p > 10^{2018}$ ισχύει $\displaystyle \left( {p,f\left( p \right)} \right) > 1$ και άρα $\displaystyle {p|f\left( p \right)}.$

Θεωρούμε ένα ζεύγος διαδοχικών πρώτων αριθμών $\displaystyle p,q$ με $\displaystyle p > q > {10^{2018}}.$ Τότε, υπάρχει θετικός ακέραιος

τέτοιος, ώστε $\displaystyle f\left( q \right) = kq.$ Επίσης, είναι:

$\displaystyle p|f\left( p \right) = q + f\left( q \right) = \left( {k + 1} \right)q,$

οπότε $\displaystyle {p|k + 1}$ και άρα $\displaystyle {p \le k + 1}.$

Αλλά είναι

$\displaystyle kq = f\left( q \right) < 1 + 2 + \cdots + \left( {q - 1} \right) = \frac{{q\left( {q - 1} \right)}}{2},$

οπότε

$\displaystyle k < \frac{{q - 1}}{2} < q-1 < p-1.$

Καταλήξαμε σε άτοπο, οπότε το ζητούμενο δείχθηκε.

#9

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Φεβ 03, 2018 11:02 pm Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18. Θέματα της 3η φάσης για την 11η τάξη.

8. Να αποδείξετε, ότι θα βρεθεί τέτοιος φυσικός αριθμός $n > 10^{2018}$ , ώστε το άθροισμα όλων των πρώτων αριθμών, μικρότερων του , θα είναι σχετικά πρώτο με τον .

Ας δούμε ακόμη μια λύση:

Έστω $p_1,p_2,\ldots$ η ακολουθία των πρώτων. Για $k = 1,2,\ldots$ ορίζω S_k

το άθροισμα όλων των πρώτων αριθμών μικρότερων του p_k

.

Υποθέτουμε προς άτοπο ότι το ζητούμενο δεν ισχύει. Άρα υπάρχει k_0

ώστε για κάθε $k \geqslant k_0$ ο p_k

με τον

έχουν κοινό διαιρέτη. Οπότε p_k|S_k

και άρα

για κάποιον θετικό ακέραιο r_k

. Τότε
$\displaystyle S_{k+1} = p_{k+1}r_{k+1} = p_kr_k + p_k = p_k(r_k+1)$
Επειδή $p_{k+1} > p_k$ είναι και $r_{k+1} < r_k + 1$ και άρα $r_{k+1} \leqslant r_k$ . Δεν μπορούμε όμως να έχουμε $r_k = r_{k+1}$ (για $k \geqslant 2$ ) αφού τότε είναι
$\displaystyle p_k = p_{k+1}r_{k+1} - p_kr_k = (p_{k+1}-p_k)r_k$
Αυτό όμως είναι άτοπο. Πράγματι αφού $p_{k+1} - p_k > 1$ , τότε r_k=1

. Αλλά τότε είναι $p_{k+1} = 2p_k$ , άτοπο.

Τότε όμως η ακολουθία $r_{k_0}, r_{k_0+1}, r_{k_0+2},\ldots$ είναι μια αυστηρά φθίνουσα ακολουθία θετικών ακεραίων. Αυτό είναι άτοπο. Άρα το ζητούμενο έπεται. (Υποθέτω ότι $k_0 \geqslant 2$ .)

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση