Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

(α) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο $\displaystyle{x^4+4}$ σε γινόμενο δύο μη σταθερών πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.

(β) Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $\displaystyle{(a, b)}$ , για τους οποίους η παράσταση $\displaystyle{a^4+4b^4}$ είναι πρώτος αριθμός.

Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλες τις τριάδες πραγματικών αριθμών $\displaystyle{(a, b, c)}$ , για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες:
i. $\displaystyle{abc=1}$
ii. $\displaystyle{ab+bc+ca=a+b+c}$
iii. $\displaystyle{b-a=1}$

Πρόβλημα 3

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ . Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσον της πλευράς του $\displaystyle{BC}$ και έστω ότι $\displaystyle{AB<AM}$ . Πάνω στην ευθεία $\displaystyle{AM}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{D}$ , τέτοιο ώστε $\displaystyle{AB=AD}$ . Ονομάζουμε $\displaystyle{E}$ το σημείο τομής της διχοτόμου $\displaystyle{(\delta)}$ της γωνίας $\displaystyle{\angle{BAD}}$ με την ευθεία $\displaystyle{BD}$ . Η κάθετη από το σημείο $\displaystyle{C}$ προς την $\displaystyle{(\delta)}$ τέμνει την διάμεσο $\displaystyle{AM}$ στο σημείο $\displaystyle{O}$ και την $\displaystyle{(\delta)}$ στο σημείο $\displaystyle{N}$ . Θεωρούμε $\displaystyle{K, T}$ τα μέσα των τμημάτων $\displaystyle{EN, OC}$ , αντίστοιχα. Αν η παράλληλη από το $\displaystyle{M}$ προς την $\displaystyle{(\delta)}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{CN}$ στο σημείο $\displaystyle{Z}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{KZ=MT}$ .

Πρόβλημα 4

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι εξής αριθμοί: $\displaystyle{2018}$ άσσοι, $\displaystyle{2019}$ δυάρια και $\displaystyle{2020}$ τριάρια. Σε κάθε κίνηση ένας παίκτης μπορεί να σβήσει δύο διαφορετικούς αριθμούς και να γράψει στην θέση τους τον τρίτο αριθμό (Ο παίκτης σβήνει δύο αριθμούς και γράφει μόνο έναν αριθμό.). Το παιγνίδι τελειώνει όταν ο παίκτης δεν μπορεί να κάνει άλλη τέτοια κίνηση.

Κάθε ένας από τους Ανδρέα, Βασίλη και Γιώργο παίζει το παιγνίδι μόνος του ξεχωριστά μέχρι να τελειώσει. Στο τέλος του δικού του παιγνιδιού, ο Ανδρέας θέλει να αφήσει στον πίνακα γραμμένο μόνο έναν άσσο (και κανέναν άλλον αριθμό), ο Βασίλης μόνο ένα δυάρι (και κανέναν άλλον αριθμό) και ο Γιώργος μόνο ένα τριάρι (και κανέναν άλλον αριθμό). Να εξηγήσετε πλήρως ποιοι από τους τρεις μπορούν να πετύχουν τον στόχο τους.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Πρόβλημα 1.

α)

$x^{4}+4=\left ( x^{2} \right )^{2}+2^{2}=\left ( x^{2}+2 \right )^{2}-4x^{2}=\left ( x^{2}+2-2x \right )\left ( x^{2}+2+2x \right )$
β)

$N=a^{4}+4b^{2}=\left (a^{2} \right )^{2}+\left (2b^{2} \right )^{2}=\left ( a^{2}+2b^{2} \right )-4a^{2}b^{2}=\left ( a^{2}+2b^{2} -2ab\right )\left ( a^{2}+2b^{2}+2ab \right )$

Επειδή

πρώτος και $\left ( a^{2}+2b^{2} -2ab\right )<\left ( a^{2}+2b^{2}+2ab \right )$ πρέπει

$a^{2}+2b^{2}-2ab=1\Leftrightarrow \left ( a-b \right )^{2}+b^{2}=1$

Eπειδή a,b

θετικοί ακέραιοι πρέπει a=b=1

άρα

πρώτος.

Tolaso J Kos · #3

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 5:02 pm
Πρόβλημα 1

(α) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο $\displaystyle{x^4+4}$ σε γινόμενο δύο μη σταθερών πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.

(β) Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $\displaystyle{(a, b)}$ , για τους οποίους η παράσταση $\displaystyle{a^4+4b^4}$ είναι πρώτος αριθμός.

(α) Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} x^4+4 &=x^4+4x^2-4x^2+4 \\ &=\left ( x^4+4x^2+4 \right ) - 4x^2 \\ &=\left ( x^2+2 \right )^2 - 4x^2 \\ &= \left ( x^2-2x+2 \right ) \left ( x^2+2x+2 \right ) \end{aligned}}$
Sophie-Germain ;

(β) Σύμφωνα με το (α) είναι $\displaystyle{a^4 + 4 b^4 = \left( {a}^{2}-2\,ab+2\,{b}^{2} \right) \left( {a}^{2}+2\,ab+2\,{b}^{2} \right)}$ οπότε για να είναι πρώτος πρέπει a^2-2ab+2b^2=1

και άρα

και στη περίπτωση αυτή η παράσταση ισούται με

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

Πρόβλημα 2

Αρχικά πρέπει $a,b,c\neq 0$

Aπό iii παίρνουμε b=a+1

και αντικαθιστούμε.

Aπό i $a(a+1)c=1\Leftrightarrow a^{2}c+ac=1$

Από ii $a(a+1)+\left ( a+1 \right )c+ac=2a+c+a^{2}c+ac\Leftrightarrow a^{2}+ac=a^{2}c+a\Leftrightarrow a-ac=1-c\Leftrightarrow a=1 \,\,\eta'\,\,\,c=1$

Για a=1

παίρνουμε

και

Για

παίρνουμε $a^2+a-1=0\Leftrightarrow a=\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ και $b=\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}+1=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Xriiiiistos · #5

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 5:02 pm
Πρόβλημα 3

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ . Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσον της πλευράς του $\displaystyle{BC}$ και έστω ότι $\displaystyle{AB<AM}$ . Πάνω στην ευθεία $\displaystyle{AM}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{D}$ , τέτοιο ώστε $\displaystyle{AB=AD}$ . Ονομάζουμε $\displaystyle{E}$ το σημείο τομής της διχοτόμου $\displaystyle{(\delta)}$ της γωνίας $\displaystyle{\angle{BAD}}$ με την ευθεία $\displaystyle{BD}$ . Η κάθετη από το σημείο $\displaystyle{C}$ προς την $\displaystyle{(\delta)}$ τέμνει την διάμεσο $\displaystyle{AM}$ στο σημείο $\displaystyle{O}$ και την $\displaystyle{(\delta)}$ στο σημείο $\displaystyle{N}$ . Θεωρούμε $\displaystyle{K, T}$ τα μέσα των τμημάτων $\displaystyle{EN, OC}$ , αντίστοιχα. Αν η παράλληλη από το $\displaystyle{M}$ προς την $\displaystyle{(\delta)}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{CN}$ στο σημείο $\displaystyle{Z}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{KZ=MT}$ .

$NC//BD\Rightarrow _{(\Theta .\Theta .,BM=MC)}DM=MO\Rightarrow _{(ED//NO,EK=KN)}KM//NC$ αφού επείσης το τρίγωνο ABD

είναι ισοσκελές άρα η διχοτόμος της

γωνίας της θα είναι και ύψος και αφού AN//MZ

ΘΑ ΕΙΝΑΙ $MZO=AED=90^{\circ}$ ( ED//NC

). Το

ορθ.παραλληλόγραμμο άρα MZ=KN=EK

άρα

πλ.παραλληλόγραμμο άρα $KZ//MT\Rightarrow _{KM//ZT}$ KMTZ

πλ.παραλληλόγραμμο οπότε MT=KZ

. Έχουμε

συνευθειακά από θαλή στο BD//NC

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #6

Πρόβλημα 4

Ανδρέας: Πρέπει στο τελευταίο στάδιο να αφήσει

δυάρι και ένα τριάρι. Όμως διαφορά πλήθους δυαριών και τριαριών είναι πάντα περιττός και ποτέ

.
Άρα όχι.
Το ίδιο για τον Γιώργο.
Ο Βασίλης μπορεί να το πετύχει ως εξής:

Σε κάθε τριάδα βημάτων που κάνει :

Σβήνει έναν άσσο και ένα τριάρι
Σβήνει έναν άσσο και ένα δυάρι
Σβήνει ένα δυάρι και ένα τριάρι

Έτσι μετά από κάθε τριάδα τέτοιων βημάτων από όλα αφαιρείται ένα στοιχείο και κάποια στιγμή θα έχουμε

άσσοι ,

δυάρι και

τριάρια.Εδώ ακολουθά τα εξής βήματα:

Σβήνει ένα δυάρι και ένα τριάρι (

άσσος

δυάρια

τριάρι)
Σβήνει ένα τριάρι και ένα άσσο και έχουμε

άσσοι

δυάρι και

τριάρια που ήταν και ο στόχος μας.

#7

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 5:02 pm

Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλες τις τριάδες πραγματικών αριθμών $\displaystyle{(a, b, c)}$ , για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες:
i. $\displaystyle{abc=1}$
ii. $\displaystyle{ab+bc+ca=a+b+c}$
iii. $\displaystyle{b-a=1}$

Λίγο συντομότερα:

Από την ταυτότητα

$\displaystyle{(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+bc+ca)+a+b+c-1}$

προκύπτει αμέσως ότι ένας τουλάχιστον από τους $\displaystyle{a,b,c}$ ισούται με $\displaystyle{1}$ .

Τώρα το πράμα κυλάει ομαλά.

#8

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:03 pm
Πρόβλημα 4

...

Σβήνει έναν άσσο και ένα τριάρι
Σβήνει έναν άσσο και ένα δυάρι
Σβήνει ένα δυάρι και ένα τριάρι
...

Πρόδρομε, έχει μερικά προβλήματα η λύση σου. Για παράδειγμα οι κινήσεις των άλλων
επηρεάζουν το πλήθος των 1,2,3

που θα βρεις, οπότε μπορεί να μην έχεις τρόπο να επιλέξεις
ποια θα σβήσεις. Π.χ. μπορεί να έχουν τελειώσει οι άσσοι ήδη από την μέση του παιχνιδιού, οπότε
δεν μπορείς να επιλέξεις άσσο.

Δεν γράφω λύση για να την χαρούν οι μαθητές μας. Σημειώνω μόνο ότι η άσκηση λύνεται σε 2-3 γραμμές.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 9:51 pm
Για παράδειγμα οι κινήσεις των άλλων
επηρεάζουν το πλήθος των που θα βρεις,

Καλησπέρα σας κύριε Μιχάλη!

Δεν καταλαβαίνω ποιοι είναι οι άλλοι αφού κάθε ένας τους παίζει ξεχωριστά.

#10

Κώδικας: Επιλογή όλων

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 10:19 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 9:51 pm
Για παράδειγμα οι κινήσεις των άλλων
επηρεάζουν το πλήθος των που θα βρεις,
Καλησπέρα σας κύριε Μιχάλη!

Δεν καταλαβαίνω ποιοι είναι οι άλλοι αφού κάθε ένας τους παίζει ξεχωριστά.

Πρόδρομε, έχεις δίκιο. Παρανάγνωσα την εκφώνηση και έλυσα μια πιο δύσκολη άσκηση, όταν δηλαδή
οι παίκτες παίζουν από κοινού, διαδοχικά.

Οι ακόλουθη λύση είναι και για τις δύο εκδοχές, και είναι αυτή που είχα στον νου. Νομίζω ότι, επιπρόσθετα,
αναδεικνύει την ουσία:

Σε κάθε κίνηση το άθροισμα όλων των γραμμένων αριθμών αλλάζει κατά 1+2-3=0

ή

,
δηλαδή κατά άρτια ποσότητα. Στη αρχή το άθροισμα είναι άρτιος (άμεσο) άρα θα παραμείνει άρτιος όπως
και αν παίξουμε. Στα κουτουρού, δηλαδή. Άρα κερδίζει (μόνο) ο Βασίλης, χωρίς καν να σκεφτεί τις κινήσεις του.

#11

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 10:49 pm
Άρα κερδίζει (μόνο) ο Βασίλης, χωρίς καν να σκεφτεί τις κινήσεις του.

Μιχάλη αυτό δεν είναι σωστό. Αν δεν παίξει σωστά ο Βασίλης μπορούν π.χ. να μείνουν στο τέλος π.χ. τρεις άσσοι. Σύμφωνα με τους κανόνες του παιγνιδιού θα έχει χάσει. [Το ίδιο γίνεται και στην εκδοχή όπου παίζουν και οι τρεις μαζί. Οι άλλοι δύο μπορούν να συνασπιστούν ώστε να μην κερδίσει ο Βασίλης.]

Βέβαια στην άσκηση είναι ξεκάθαρο ότι παίζουν ξεχωριστά και όχι μαζί. Εδώ υπάρχει απλή στρατηγική ώστε να κερδίσει ο Βασίλης η οποία δόθηκε σωστά από τον Πρόδρομο.

#12

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 11:48 pm

Μιχάλη αυτό δεν είναι σωστό. Αν δεν παίξει σωστά ο Βασίλης μπορούν π.χ. να μείνουν στο τέλος π.χ. τρεις άσσοι. Σύμφωνα με τους κανόνες του παιγνιδιού θα έχει χάσει. [Το ίδιο γίνεται και στην εκδοχή όπου παίζουν και οι τρεις μαζί. Οι άλλοι δύο μπορούν να συνασπιστούν ώστε να μην κερδίσει ο Βασίλης.]

Βέβαια στην άσκηση είναι ξεκάθαρο ότι παίζουν ξεχωριστά και όχι μαζί. Εδώ υπάρχει απλή στρατηγική ώστε να κερδίσει ο Βασίλης η οποία δόθηκε σωστά από τον Πρόδρομο.

Έχετε δίκιο. Τελικά μόνο ο Βασίλης μπορεί να κερδίσει αλλά δεν πρέπει να παίξει τελείως στα κουτουρού. Χοντρικά, πρέπει να προσέχει όταν φτάνει προς το τέλος. Τι εννοώ:

Σε "τρεις άσσους" δεν μπορεί να φτάσει (το άθροισμα πρέπει να είναι άρτιος) αλλά (χειρότερα) μπορεί να φτάσει ακόμη και πολύ πριν το τέλος σε "μόνο άσσους" ή "μόνο δυάρια" ή "μόνο τριάρια" και να καεί. Άρα φροντίζει να έχει κάθε φορά "μερικούς αριθμούς" από κάθε είδος. Αν κάποια στιγμή με απρόσεκτο/κουτουρού παίξιμο παρατηρήσει ότι αρχίζει και του λείπει κάποιος από τους αριθμούς, τότε θα αρχίσει να παίζει μόνο τους άλλους δύο. Αυτό θα του αυξήσει τον υπό εξαφάνιση αριθμό. Έτσι καταφέρνει να φέρει το παιχνίδι, με συνεχές παίξιμο, προς το τέλος. Τότε αρχίζει και προσέχει. Για παράδειγμα όταν φτάσει σε τρεις αριθμούς αυτοί θεωρητικά μπορεί να είναι (άρτιο άθροισμα) οι 1,1, 2

ή

. Οι δύο πρώτες περιπτώσεις τον οδηγούν σε νίκη, οι άλλες δύο όχι, οπότε πρέπει να τις αποφύγει. Πράγμα εύκολο γιατί π.χ. το προηγούμενο βήμα πριν το 1,2,3

είναι ένα από τα 1,1,2,2

ή

. Όμως εκεί μπορεί να μεριμνήσει να μην φτάσει γιατί θα παρατηρήσει σε προηγούμενο βήμα ότι αρχίζει και του λείπει κάποιος αριθμός, πράγμα που θα ... τον ξυπνήσει. Τελικά, δεν παίζει τελείως στα κουτουρού αλλά κάθε τόσο προσέχει και, ουσιαστικά, μόνο στα λίγα τελευταία βήματα πονοκεφαλίζει. Όμως μπορεί να διευθετήσει, έστω τελευταία στιγμή, τα άσωτα βήματα μέχρι εκείνη την στιγμή της ζωής του.

#13

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 1:07 am
Σε "τρεις άσσους" δεν μπορεί να φτάσει (το άθροισμα πρέπει να είναι άρτιος)

Σωστά τρία δυάρια ήθελα/έπρεπε να πω. Είχα λόγο πάντως που επέλεξα το 3. Δείξτε ότι δεν μπορεί ο Βασίλης να καταλήξει σε ακριβώς δύο δυάρια.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #14

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 11:35 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 1:07 am
Σε "τρεις άσσους" δεν μπορεί να φτάσει (το άθροισμα πρέπει να είναι άρτιος)

Σωστά τρία δυάρια ήθελα/έπρεπε να πω. Είχα λόγο πάντως που επέλεξα το 3. Δείξτε ότι δεν μπορεί ο Βασίλης να καταλήξει σε ακριβώς δύο δυάρια.

Καλημέρα σας κύριε Δημήτρη!

Για να καταλήξει ο Βασίλης να έχει μόνο

δυάρια πρέπει στο προηγούμενο βήμα του να είχε

άσσο

δυάρι

τριάρι.Όμως η διαφορά πλήθους
δυαριών-τριαριών είναι πάντα περιττός αριθμός και ποτέ

όπως έχω αναφέρει και πιο πάνω .

#15

Σωστά. Ακριβώς η ίδια απόδειξη δείχνει ότι αν μείνουν μόνο δυάρια, θα μείνει περιττός αριθμός από αυτά.

Μπερντένης Γεώργιος · #16

Για το πρώτο θέμα του διαγωνισμού
Θα το λύσουμε με τη γνωστή μέθοδο παραγοντοποίησης που λέγεται προσθαφαίρεση όρου.
Με βάση αυτή τη μέθοδο πρέπει:
$x^4+4=\left ( x^2 \right )^2+2^2-4x^2+4x^2=\left ( x^2-2 \right )^2+\left (2x\left)^2=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$
Για το δεύτερο σκέλος έχουμε ότι: a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)

Έτσι για να είναι πρώτος πρέπει το (a^2-2ab+2b^2)=1

,ώστε

,που είναι πρώτος
Άρα a,b=1

Με αντικατάσταση λοιπόν παίρνουμε $1^4+4\cdot1^4=1+4=5$
Συνεπώς a=b=1

Φιλικά,

Γιώργος

#17

Μπερντένης Γεώργιος έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 10:05 pm
Για το πρώτο θέμα του διαγωνισμού
Θα το λύσουμε με τη γνωστή μέθοδο παραγοντοποίησης που λέγεται προσθαφαίρεση όρου.

Δεν θα έχεις παρατηρήσει ότι αυτό ακριβώς κάνουν και οι δύο λύτες της άσκησης (ποστ #2 και #3) παραπάνω.

#18

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 5:02 pm
Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλες τις τριάδες πραγματικών αριθμών $\displaystyle{(a, b, c)}$ , για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες:
i. $\displaystyle{abc=1}$
ii. $\displaystyle{ab+bc+ca=a+b+c}$
iii. $\displaystyle{b-a=1}$

Δίνω μια ελάχιστα διαφορετική προσέγγιση από τις δοθείσες. Αν k = a+b+c=ab+bc+ca

τότε από τα (i) και (ii) τα a,b,c

είναι οι ρίζες του πολυωνύμου f(x) = x^3 - kx^2 + kx - 1

. Επειδή

ένα εκ των a,b,c

ισούται με

. Τα υπόλοιπα ως έχουν συζητηθεί.

Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Μέλη σε σύνδεση