IMO 2019

[S.E.Louridas]

Επιτρέψτε μου να παραμένει ως άποψη μου αυτή:
Και όμως για 12οι είμαστε, αν οι Άριστοι Μαθητές μας προσεχτούν από την πολιτεία ... ναι είμαστε, πως να το κάνουμε. Και εξηγούμαι ότι την χρονιά που ήρθαμε 12οι ο Σιλουανός πρόσεξε πάρα πολύ και σε συνεχή βάση την ομάδα και επί της ουσίας για λίγο αντικατέστησε την εποχή εκείνη την πολιτεία με τον συνεχή βομβαρδισμό με σημειώσεις από τα email ουσίας και με θεματολογία άριστη και επί του αθλήματος. Και για αυτό μιλώ μετά λόγου γνώσης όχι από τον ίδιο. Άρα αν αυτό γινόταν επίσημα και σε συνεχή βάση Ναι είμαστε ως γηγενής δύναμη πολύ ψηλά. Πρέπει να κατανοήσουμε ότι η Γεωμετρία ως διδασκαλία προσφέρει πολυπαραμετρικά και ουσιαστικά στην μαθηματική σκέψη, πέραν του ότι θα έδινε και τα απαραίτητα μικρά επιπλέον ποντάκια για καβάτζομα από τα cut of. Η σωστή διδασκαλία της Πρακτικής αριθμητικής έστω και στα πειραματικά και πρότυπα σχολεία προσφέρει πολυπαραμετρικά και ουσιαστικά στην μαθηματική σκέψη και μάλλιστα είναι και ένας πολύ σωστός προπομπός των combinatorics και σίγουρα ο αλγεβρικός λογισμός σε πρότυπα και πειραματικά σχολεία τουλάχιστον προσφέρει πολυπαραμετρικά και ουσιαστικά στην μαθηματική σκέψη, αλλά και η επαφή με την βασίλισσα (θεωρία των αριθμών). Με βάση το ότι αυτά απουσιάζουν παντελώς έστω και σε επίπεδο επίσημων με κίνητρα ΘΥΛΆΚΩΝ (λες και θα χάσουμε ως κράτος) για τον σκοπό αυτό, τα αποτελέσματα των παιδιών φέτος είναι ΑΘΛΟΣ.


(*) Εδώ συναντήσαμε κατά το παρελθόν λυσσαλέα επίθεση ενάντια στην "ταξική" όπως έλεγαν λειτουργία πρότυπων και πειραματικών ως ρατσιστική. Αυτά τα λούμπεν γεγονότα που προσπαθούν μάλιστα χωρίς επιχειρήματα να μας τα επιβάλουν αισθάνομαι ότι τείνουν να δαμάσουν την λογική μας.

(**) Ο ορισμός της σωστής Δημοκρατίας είναι η αναγνώριση και ο σεβασμός από την πολιτεία της Αριστείας και αξιοκρατείας, παντού από τον επιστήμονα έως και τον τεχνίτη ή τον γεωργό ή τον κτίστη ... και η αναγνώριση αυτή εκ μέρους της πολιτείας θέλει τουλάχιστον κότσια.

(**) Η τοποθέτηση μου είναι βαθιά πολιτικής βούλησης και όσο με αφορά δεν έχει να κάνει με τον εκάστοτε κυβερνώντα, καθότι στον όμορφο αυτό τόπο, οι μεταρρυθμίσεις στην παιδεία τείνουν να είναι περισσότερες από τις κυβερνήσεις του και αυτό είναι τουλάχιστον η παραδοχή της κακότητας στον ευαίσθητο, και έχοντος κορυφαίο ρόλο για την πρόοδο ενός κράτους, αυτό τομέα.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Αρχικά θα ήθελα κι εγώ να δώσω τα θερμά μου συγχαρητήριά σε όλα τα παιδιά της ομάδας γιατί το αξίζουν, αλλά και στους συνοδούς.

Σχετικά με όλα τα άλλα θα ήθελα να πω κι εγώ τη γνώμη μου, μάλιστα το σκεφτόμουν να το κάνω από καιρό, αλλά καλύτερα νομίζω ότι ταιριάζει να γίνει σε άλλο σημείο.

[Ορέστης Λιγνός]

Έστω το έκκεντρο του οξυγώνιου τριγώνου με . Ο εγγεγραμμένος
κύκλος του εφάπτεται των πλευρών , και στα σημεία , και , αντίστοιχα. Η
ευθεία που περνά από το σημείο και είναι κάθετη στο τέμνει τον κύκλο ξανά στο σημείο .
Η ευθεία τέμνει ξανά τον κύκλο στο σημείο . Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων
και τέμνονται ξανά στο σημείο
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται πάνω στην ευθεία που περνά από το και είναι
κάθετη στην .

Μια λύση.

Θεωρούμε την αντιστροφή με κέντρο το έκκεντρο , και δύναμη . Τότε, τα σημεία που ανήκουν στον εγγεγραμμένο κύκλο, δηλαδή τα παραμένουν σταθερά. Επίσης, τα σημεία πάνε στα μέσα των , αντίστοιχα. Ακόμη, ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου γίνεται ο περιγεγραμμένος του τριγώνου , ενώ ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου γίνεται ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου . Η τομή των κύκλων και είναι φυσικά το αντίστροφο του σημείου , έστω .
Έστω τώρα ότι η τέμνει την κάθετο από το στην στο . Τότε, το αντίστροφο του είναι το ίχνος της κάθετης από το μέσο της στην , καθώς .

Θέλουμε να δείξουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά. Για να δειχτεί αυτό, αρκεί να δείξουμε ότι οι εικόνες τους στην αντιστροφή είναι ομοκυκλικά σημεία με τον πόλο . Αρκεί δηλαδή τα σημεία να είναι ομοκυκλικά.
Αποδεικνύω έναν Ισχυρισμό:

Ισχυρισμός: Τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου το ορθόκεντρο του τριγώνου .
Απόδειξη: Έστω το σημείο (διαφορετικό του , το αντιδιαμετρικό ) όπου η τέμνει τον .
Τότε, αν , τότε είναι , άρα το είναι εγγράψιμο. Συνεπώς, , όπου η τελευταία ισότητα ισχύει διότι . Οπότε, το είναι εγγράψιμο.
Επίσης, είναι , δηλαδή και το είναι εγγράψιμο. Όμως, και το και το ανήκουν στον , άρα , οπότε τελειώσαμε .
(Μια άλλη απόδειξη μπορεί να δοθεί με χρήση αρνητικής αντιστροφής πόλου και δύναμης )

Είναι τώρα, , δηλαδή το σημείο ανήκει στην .
Έστω τώρα το σημείο όπου η τέμνει τον . Τότε, , οπότε .

Αν τώρα το μέσο της , αυτό είναι προφανώς και το μέσο της . Όμως, το είναι εγγράψιμο, με το κέντρο του να είναι το , άρα , άρα το είναι εγγράψιμο. Οπότε, για να δείξουμε ότι το είναι εγγράψιμο, αρκεί να δείξουμε ότι, το είναι επίσης εγγράψιμο.
Αρκεί δηλαδή, (η τελευταία ισότητα, ισχύει διότι: αν το σημείο όπου οι τέμνονται, πάνω στον , τότε εύκολα έχουμε ότι τα είναι όμοια, οπότε είναι και , λόγω των ομόλογων διαμέσων).
Αρκεί πλέον .
Όμως, , άρα και . Τέλος, , συνεπώς η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

(έχω προσθέσει τρία σχήματα, στο πρώτο φαίνονται τα αντίστροφα των κύκλων/σημείων, στο δεύτερο επικεντρώνομαι μόνο στην Απόδειξη του Ισχυρισμού, και στο τρίτο επικεντρώνομαι στα σημεία που με ενδιαφέρουν, με κύριο τρίγωνο το )

IMO 2019 Problem 6.png (87.84 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές

IMO 2019 Problem 6 Lemma.png (27.86 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές

IMO 2019 Problem 6 Inverted Diagram.png (61.34 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές

[miltosk]

Το o πρόβλημα (Γεωμετρία) IMO 2019.png

Σε τρίγωνο , το είναι σημείο της πλευράς και το σημείο της πλευράς . Έστω και σημεία των τμημάτων

και , αντίστοιχα, έτσι ώστε το να είναι παράλληλο στο . Έστω σημείο της ευθείας , ώστε το να

είναι ανάμεσα στα και, και . Ομοίως, έστω σημείο της ευθείας , ώστε το να είναι ανάμεσα

στα και , και . Να δείξετε ότι τα σημεία , και είναι ομοκυκλικά..

Γράφω μία μιας και πέτυχα τα θέματα. Μπορεί να έχει αναρτηθεί ήδη, δεν το έψαξα.
Ξεκινάω:
: Έστω τυχαίο τρίγωνο και τυχαίες σεβιανές του. Ας είναι σημεία πάνω στις αντίστοιχα τέτοια ώστε . Αν η τομή των και η τομή των τότε .
Απόδειξη: Προκύπτει άμεσα από το θεώρημα του Πάππου για τις τριάδες . Πιο συγκεκριμένα, εφαρμόζοντάς το, καταλήγω πως η τομή των ανήκει στην . Αφού όμως τότε το είναι το επ' άπειρον σημείο των . Εφόσον, λοιπόν, η διέρχεται απ το επ' άπειρον σημείο των , η είναι παράλληλη σε αυτές και το ζητούμενο έπεται.
Πίσω στο πρόβλημα τώρα:
Ορίζω ομοίως τα και από τα δεδομένα σε συνδυασμό με το Λήμμα 1, το είναι εγγράψιμο.
Επιπλέον: . Τότε από τις παραλληλίες και το εγγράψιμο παίρνω (γωνίες τα επόμενα):
Ακόμη:
Άρα και το ζητούμενο έπεται.
Bonus: Το ανήκει στον περίκυκλο του .
Edit: δεν βάζω σχήμα γιατί δεν ξέρω πως...