Τεστ Εξάσκησης (42), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Θεωρούμε τρίγωνο ABC

. Η διχοτόμος της γωνίας $\angle B$ τέμνει την

στο

Έστω

το έγκεντρο του ABC

.
Αν

, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο API

είναι ισοσκελές.

ΘΕΜΑ 2
Δίνεται το σύνολο $K=\{1,2,3,...,2012\},$ και έστω A,B

δύο υποσύνολα του

. Συμβολίζουμε με |A |

και

τον αριθμό των στοιχείων του

και

αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι $|A |\cdot |B |\geq 4023$ .
Να αποδείξετε ότι τα σύνολα A-A

και

περιέχουν ένα τουλάχιστον κοινό στοιχείο.
Σημειώνουμε ότι το X-X

συμβολίζει το σύνολο $\{k-r: k,r\in X, k\ne r \}$

ΘΕΜΑ 3
Ένας ειδικευόμενος γιατρός πρόκειται να εργαστεί σε ένα νοσοκομείο για πέντε ημέρες κατά τον μήνα Μάρτιο. Η διεύθυνση του νοσοκομείου δεν επιτρέπει στον ειδικευόμενο γιατρό να εργάζεται δύο συνεχόμενες μέρες στο νοσοκομείο. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί ο γιατρός να επιλέξει τις πέντε μέρες που θα εργαστεί στο νοσοκομείο;

ΘΕΜΑ 4
Έστω a,b,c

θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a+b+c=3

.

Να δείξετε ότι $\dfrac{1}{2+a^2+b^2}+\dfrac{1}{2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{2+c^2+a^2} \leqslant \dfrac{3}{4}$ .

Πότε ισχύει η ισότητα;

#2

socrates έγραψε: Παρ Απρ 10, 2020 2:50 am ΘΕΜΑ 1
Θεωρούμε τρίγωνο . Η διχοτόμος της γωνίας $\angle B$ τέμνει την στο Έστω το έγκεντρο του .
Αν , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Στην προέκταση της

θεωρώ σημείο

ώστε

οπότε

: 42-μικροί.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 1291 φορές

Η

είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας $P\widehat AT,$ άρα AI||PT

και $\displaystyle \frac{{AI}}{{PT}} = \frac{{BA}}{{BT}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{AP}}{{PC}}$

Αλλά λόγω του ισοσκελούς BTC

το

βρίσκεται στη μεσοκάθετο του CT,

οπότε $\displaystyle PT = PC \Leftrightarrow$ $\boxed{AI=AP}$

Τεστ Εξάσκησης (42), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (42), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (42), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση