Τεστ Εξάσκησης (43), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Θεωρούμε τα γινόμενα ανά

ανά

... , ανά

των στοιχείων του συνόλου $\displaystyle{A =\left\{\frac12, \frac13, \frac14,...,\frac{1}{2000},\frac{1}{2001}\right\}}$ .
Βρείτε το άθροισμα όλων αυτών των γινομένων.

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τετράγωνο ABCD

και έστω

το μέσο της πλευράς

,

η προβολή του

στην

και

το μέσο του τμήματος CP.

Η διχοτόμος της γωνίας $\angle DAN$ τέμνει την

στο

Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BMQN

είναι παραλληλόγραμμο.

ΘΕΜΑ 3
Έστω

θετικός ακέραιος. Στην περιφέρεια ενός κύκλου μήκους

θεωρούμε

σημεία τα οποία χωρίζουν τον κύκλο σε

διαδοχικά τόξα, από τα οποία

έχουν μήκος

$\ \ n$ έχουν μήκος

και τα υπόλοιπα

έχουν μήκος

Να αποδείξετε ότι δύο από αυτά τα σημεία είναι διαμετρικά αντίθετα.

ΘΕΜΑ 4
Να λύσετε στους θετικούς ακεραίους την εξίσωση: x^yy^x=(x+y)^z

#2

socrates έγραψε: Παρ Απρ 10, 2020 3:03 am ΘΕΜΑ 1
Θεωρούμε τα γινόμενα ανά ανά ανά ... , ανά των στοιχείων του συνόλου $\displaystyle{A =\left\{\frac12, \frac13, \frac14,...,\frac{1}{2000},\frac{1}{2001}\right\}}$ .
Βρείτε το άθροισμα όλων αυτών των γινομένων.

Ας κάνω την αρχή: Έχουμε 2000

αριθμούς $a_1, a_2, ... , a_{2000}$ (τάδε) και ψάχνουμε το $\sum a_ka_l +\sum a_ka_la_ma_n +...$ . Το ζητούμενο είναι το άθροισμα των συντελεστών των άρτιων δυνάμεων του

(πλην του

) στο ανάπτυγμα

$\displaystyle{S(x)=(1+a_1x)(1+a_2x)....(1+a_{2000}x)= 1 +( \sum a_k)x + (\sum a_ka_l)x^2+ ( \sum a_ka_l a_m)x^3+... +a_1...a_{2000}x^{2000}}$

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{\dfrac {S(x)+S(-x)}{2}= 1 + (\sum a_ka_l)x^2+ ( \sum a_ka_l a_ma_4)x^4+... +a_1...a_{2000}x^{2000}}$ οπότε το ζητούμενο άθροισμα είναι το

$\displaystyle{\dfrac {S(1)+S(-1)}{2}-1}$

Εδώ τα $S(1), \, S(-1)$ είναι εύκολο να τα βρούμε. Είναι

$\displaystyle{S(1)= \left (1+ \dfrac {1}{2} \right) \left (1+ \dfrac {1}{3} \right)\cdot ...\cdot \left (1+ \dfrac {1}{2000} \right) = \dfrac {3}{2} \dfrac {4}{3} \cdot... \cdot \dfrac {2001}{2000} =\dfrac {2001}{2} }$ (μετά τις προφανείς απλοποιήσεις σε γειτονικούς όρους) και όμοια

$\displaystyle{S(-1)= \left (1- \dfrac {1}{2} \right) \left (1-\dfrac {1}{3} \right)\cdot ...\cdot \left (1- \dfrac {1}{2000} \right) = \dfrac {1}{2} \dfrac {2}{3} \cdot... \cdot\dfrac {1999}{2000} =\dfrac {1}{2000} }$ . Και λοιπά.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

socrates έγραψε: Παρ Απρ 10, 2020 3:03 am
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τετράγωνο και έστω το μέσο της πλευράς , η προβολή του στην και το μέσο του τμήματος Η διχοτόμος της γωνίας $\angle DAN$ τέμνει την στο Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

: 298.PNG (24.91 KiB) Προβλήθηκε 1447 φορές

Ορίζω $\rm K$ το μέσο του $\rm DC$
Από το $\rm MBC$ είναι $\rm CP\cdot CM=CB^2=CD^2$ άρα η $\rm CD$ εφάπτεται του $\rm (M,P,D)$ .Άρα $\rm \angle DMC=\angle CDP=2\angle KMC=2\angle BCM=2\angle(90^{\circ}-MCD)=180^{\circ}-2\angle PCD$ άρα $\rm DP=DC$ .
Έτσι αφού το $\rm N$ είναι μέσο της βάσης θα είναι $\rm \angle MND=\angle DAB=90^{\circ}$ δηλαδή $\rm AMND$ εγγράψιμο.Άρα $\rm \angle AND=\angle AMD=\angle CMB=\angle NDA\Leftrightarrow AD=AN$ .Θα είναι λοιπόν $\rm AQ,DN$ κάθετα δηλαδή $\rm AQ\parallel MC$ .Εύκολα όμως (ισότητα τριγώνων ) είναι $\rm AK\parallel CM$ άρα $\rm A,Q,K$ συνευθειακά.Άρα $\rm Q$ το μέσο του $\rm DP$ .Έτσι $\rm QN\parallel AB$ και $\rm QN=\dfrac{DC}{2}=\dfrac{AB}{2}=MB$ και το ζητούμενο έπεται.

Τεστ Εξάσκησης (43), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (43), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (43), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (43), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση