Τεστ Εξάσκησης (31), Μικροί

#1

Τα τεστ 31 - 35 (Μικροί) αποτελούνται από θέματα που είδαμε στο

.
Ας γράφουμε άλλες λύσεις, σχόλια κτλ στο αντίστοιχο τόπικ!

Όλα τα τεστ είναι συγκεντρωμένα εδώ.

ΘΕΜΑ 1
Οι θετικοί ακέραιοι $a_1, a_2, ... , a_{12}$ είναι διαφορετικοί ανά δύο και οι θετικές διαφορές μεταξύ δύο οποιονδήποτε από αυτούς σχηματίζουν ένα σύνολο με στοιχεία

διαδοχικούς θετικούς ακεραίους.
α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{ \max \{a_1, a_2, ..., a_{12} \} − \min \{a_1, a_2, ... , a_{12} \} = 20.}$
β) Να βρείτε παράδειγμα τέτοιων αριθμών.

ΘΕΜΑ 2
Έστω $(a_1,a_2,a_3,...,a_{2011})$ μια αναδιάταξη των αριθμών 1,2,3,...,2011

.
Δείξτε ότι υπάρχουν j,k

έτσι ώστε $1\leq{j}<k\leq2011$ και |a_j-j|=|a_k-k|

ΘΕΜΑ 3
Σε μια λέσχη διαβάσματος έχουν πάρει μέρος n μαθητές. Υπάρχουν συνολικά 6 μαθήματα διαβάσματος κάθε ένα από τα οποία παρακολουθείται από ακριβώς 40 μαθητές. Αν δίνεται ότι κάθε δύο μαθήματα έχουν το πολύ 9 κοινούς μαθητές που τα παρακολουθούν να βρείτε τον ελάχιστο n.

ΘΕΜΑ 4
Από τις κορυφές B, C

ορθογωνίου τριγώνου ABC

φέρνω εκτός του τριγώνου κάθετες στην υποτείνουσα

και θεωρώ επί αυτών τα σημεία Q, P

αντίστοιχα ώστε BQ=BA

και

Οι

τέμνονται στο

και οι

τέμνουν την

στα

Να δείξετε ότι η

διχοτομεί το τμήμα MN.

#2

socrates έγραψε: Κυρ Μαρ 22, 2020 2:18 am ΘΕΜΑ 2
Έστω $(a_1,a_2,a_3,...,a_{2011})$ μια αναδιάταξη των αριθμών .
Δείξτε ότι υπάρχουν έτσι ώστε $1\leq{j}<k\leq2011$ και

Για κάθε

έχουμε $|a_j-j|\in \{0,1,2,...,2010\}.$
Επομένως, αν όλα τα |a_j-j|

είναι διαφορετικά ανά δύο, θα είναι ακριβώς οι αριθμοί 0,1,2,...,2010

με κάποια σειρά.
Όμως $\displaystyle{|x|\equiv x \pmod 2}$ άρα

$\displaystyle{\sum_{i=1}^{2011}|a_i-i|\equiv a_1+a_2+...+a_{2011}-1-2-...-2011 \equiv 0 \pmod 2,}$

αλλά

$\displaystyle{0+1+2+...+2010=2011\cdot 1005\equiv 1 \pmod 2,}$ άτοπο.

Τεστ Εξάσκησης (31), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (31), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (31), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση