Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

#1

ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (m, n)

για τα οποία ισχύει

$\displaystyle{(m + 1)! + (n + 1)! = m^2n^2.}$

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο ABC

και

το μέσο της πλευράς AB.

Έστω

σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου ABC

και

το συμμετρικό του

ως προς το

Έστω ακόμη

και

τα κοινά σημεία των

και

με τις πλευρές

και

αντίστοιχα.
Να δείξετε ότι τα σημεία A, B, D

και

είναι ομοκυκλικά, αν και μόνο αν $\displaystyle{\angle ACP = \angle QCB.}$

ΘΕΜΑ 3
Σε μια δεξίωση, κάθε καλεσμένος γνώριζε ακριβώς

άλλους καλεσμένους. Διαπιστώθηκε ότι:

Αν δύο καλεσμένοι γνωρίζονται, τότε δεν έχουν κοινό γνωστό.

Αν δύο καλεσμένοι δεν γνωρίζονται, τότε έχουν ακριβώς 6 κοινούς γνωστούς.

Πόσοι καλεσμένοι συμμετείχαν στη δεξίωση;

ΘΕΜΑ 4
Να προσδιορίσετε όλες τις 1-1 συναρτήσεις $f : \Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{|f(m) - f(n)| \leq 2015}$

για όλους τους ακεραίους

και

για τους οποίους $|m - n| \leq 2015.$

KARKAR · #2

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 2:05 am

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο και το μέσο της πλευράς Έστω σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου και

το συμμετρικό του ως προς το Έστω ακόμη και τα κοινά σημεία των και με τις πλευρές

και αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλικά, αν και μόνο αν $\displaystyle{\angle ACP = \angle QCB.}$

: Θέμα 2.png (35.83 KiB) Προβλήθηκε 2921 φορές

Το

είναι παραλληλόγραμμο . Με $SC\parallel = PA$ δημιουργούμε τα παραλληλόγραμμα APCS

και

.

Η ομοκυκλικότητα των A,B,D,E

, δίνει την ομοκυκλικότητα των A,Q , C ,S

και ( διαβάζοντας το σχήμα )
την ισότητα των πράσινων γωνιών ... Με το αντίστροφο δεν ασχολήθηκα

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 2:05 am
ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων για τα οποία ισχύει

$\displaystyle{(m + 1)! + (n + 1)! = m^2n^2.}$

Αν $m,n\geq 5$ τότε (m+1)!> (m+1)m(m-1)(m-2)(m-3)

και ομοίως για το

.
Θα δείξω ότι για $m\geq 5$ είναι (m+1)m(m-1)(m-2)(m-3)>m^4

.
Με πράξεις αρκεί f(m)=m^4-6m^3+5m^2+5m-6> 0

Για

ελέγχουμε ότι ισχύει .Επιπλέον $f'(m)=4m^3-18m^2+10m+5> 4m^3-18m^2=2m^2(2m-9)\overset{m>5}{> }0$
Άρα η f(m)

θα είναι αύξουσα στο $(5,\infty)$ και συνεπώς

Άρα για $m,n\geq 5$ έχουμε πως $(m+1)!+(n+1)!> (m+1)m(m-1)(m-2)(m-3)+(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)> m^4+n^4\geq 2m^2n^2> m^2n^2$ άτοπο.
Άρα τουλάχιστον ένας είναι $\leq 4$ .Διακρίνω περιπτώσεις:

.Πρέπει άτοπο

.Πρέπει
Αν $n\geq 4$ τότε $(n+1)!+6\equiv 4n^2 \pmod4\Rightarrow 2\equiv 0\pmod4$ άτοπο
Για ελέγχουμε ότι δεν επαληθεύουν

.Πρέπει
Αν $n\geq 6$ τότε $(n+1)!+24\equiv 9n^2(\mod9)\Leftrightarrow 24\equiv 0(\mod9)$ άτοπο.Επιπλέον με $\pmod2$ πρέπει άρτιος .Άρα .Δεκτή μόνο η γιατί τότε $120+24=9\cdot 16$ που ισχύει.

.Πρέπει .Όμοια με $\pmod16$ πρέπει και ελέγχοντας κρατάμε το

Άρα

ή

min## · #4

Μιας και δεν προλαβαίνω,ας δω μόνο το

.
Η συνθήκη εύκολα μεταφράζεται στο να δείξουμε πως $P\in$ στην ισογώνια της μεσοκαθέτου της

,

$Q\in$ στην καμπϋλη αυτή.Όμως ως γνωστόν αυτή η καμπύλη είναι ισοσκελής Υπερβολή με κέντρο το

(έχει αναλυθεί πολλές φορές) ,οπότε η ισοδυναμία έπεται .
Υγ.Κλασικό πρόβλημα,βγαίνει και με Ceva

κλπ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 2:05 am

ΘΕΜΑ 4
Να προσδιορίσετε όλες τις 1-1 συναρτήσεις $f : \Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{|f(m) - f(n)| \leq 2015}$

για όλους τους ακεραίους και για τους οποίους $|m - n| \leq 2015.$

Ενδιαφέρον.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2020 5:09 pm

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 2:05 am

ΘΕΜΑ 4
Να προσδιορίσετε όλες τις 1-1 συναρτήσεις $f : \Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{|f(m) - f(n)| \leq 2015}$

για όλους τους ακεραίους και για τους οποίους $|m - n| \leq 2015.$
Ενδιαφέρον.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Είναι η , $k\in \mathbb{Z}$

Σωστά, Σταύρο!
Αν θέλεις γράψε τη λύση ή τα βασικά της σημεία!

miltosk · #7

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 2:05 am
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο και το μέσο της πλευράς Έστω σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου και το συμμετρικό του ως προς το Έστω ακόμη και τα κοινά σημεία των και με τις πλευρές και αντίστοιχα.
Να δείξετε ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλικά, αν και μόνο αν
$\displaystyle{\angle ACP = \angle QCB.}$

Δεν έχω πολύ χρόνο και δεν είμαι σίγουρος αν βγαίνει έτσι.
Χρησιμοποιώ το εξής λήμμα (Isogonality lemma):
Έστω ABC

τρίγωνο και έστω

ένα σημείο στο εσωτερικό του. Έστω ότι γι αυτό το σημείο ισχύει: $\displaystyle{\angle ABP = \angle PCA}$
Τότε, αν BPCQ

παραλληλόγραμμο, $\displaystyle{\angle QAB= \angle PAC}$
Περισσότερα εδώ:https://artofproblemsolving.com/communi ... lity_lemma
Τώρα με εφαρμογή του λήμματος αποδεικνύεται η περίπτωση που το ABDE

είναι εγγράψιμο.
Ο ενδοιασμός μου είναι στο αντίστροφο (αν και νομίζω ισχύει).
Όποιος θέλει ας ασχοληθεί
Φιλικά, Μίλτος

harrisp · #8

Έστω $S={K_2,K_3...,K_{23}}$ το σύνολο των γνωστών καλεσμένων του K_1

. Εστω $T={K_{24},...,K_n}$ το σύνολο των μη-γνωστών καλεσμένων του K_1

. Τοποθετούμε κάθε καλεσμένο σε ένα κύκλο και ενώνουμε με μια γραμμή 2 καλεσμένους που γνωρίζονται.

Οι γραμμές που "φεύγουν" από το

και πηγαίνουν στο

είναι $21\cdot 22$ αφού κάθε στοιχείο του

έχει 21 γραμμές προς στοιχεία του

(22 απο κάθε στοιχείο πλην αυτή που πάει στον K_1

).

Οι γραμμές που "φεύγουν" από το

στο

είναι $(n-23)\cdot 6$ αφου κάθε στοιχειό του

έχει 6 κοινούς γνωστούς με τον K_1

άρα φεύγουν από αυτό 6 γραμμές προς το

.

Εξισώνοντας τις γραμμές βρίσκουμε ότι στο πάρτυ οι καλεσμένοι ήταν 100

.

miltosk · #9

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 2:05 am
ΘΕΜΑ 4
Να προσδιορίσετε όλες τις 1-1 συναρτήσεις $f : \Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{|f(m) - f(n)| \leq 2015}$

για όλους τους ακεραίους και για τους οποίους $|m - n| \leq 2015.$

Ας κάνω μια απόπειρα.
Αρχικά, σύμφωνα με την συνθήκη:
$\mid m-n\mid\leq2015\Rightarrow \mid f(m)-f(n)\mid\leq2015$
$m \mapsto f(m), n \mapsto f(n)$
Τότε: $\mid f(m)-f(n)\mid\leq2015\Rightarrow \mid f(f(m))-f(f(n))\mid\leq2015$
Έτσι επαγωγικά: $\mid m-n\mid\leq2015\Rightarrow \mid f^k(m)-f^k(n)\mid\leq2015$ όπου f^k(m)

η σύνθεση της

με τον εαυτό της

φορές, για οποιδήποτε θετικό ακέραιο

Θέτω

.
Άρα:

και

Αν $\mid i\mid \leq2015\Rightarrow \mid f^k(n+i)-f^k(n)\mid\leq2015$
Υποθέτω ότι για αυτά τα

υπάρχουν $i_0\neq i_1$ ώστε:
$f^k(n+i_1)-f^k(n)=f^k(n+i_0)-f^k(n)\Rightarrow i_0=i_1$ , αφού η

είναι 1-1, άτοπο. Άρα οι αριθμοί f^k(n+i)-f^k(n)

είναι μια μετάθεση των S=(-2015,-2014,...,2014,2015)

.
Αυτό ισχύει για κάθε

όσο το

διατρέχει αυτούς τους αριθμούς.
Θέτοντας: $n \mapsto f(n)$ , οι αριθμοί $f^k(f(n)+i)-f^{k+1}(n)$ είναι μια μετάθεση των στοιχείων του

και ΟΛΩΝ των στοιχείων αυτού καθώς το

έχει 4031 διαφορετικά στοιχεία και το

παίρνει 4031 διαφορετικές τιμές. Το ίδιο και οι $f^{k+1}(n+i)-f^{k+1}(n)$ . Επομένως μπορώ να βρω i_0,j_0

και μάλιστα μπορώ να διαλέξω ότι i_0

ή

θέλω, τέτοια ώστε: $f^k(f(n)+i_0)-f^{k+1}(n)=f^{k+1}(n+j_0)-f^{k+1}(n)\Rightarrow f^k(f(n)+i_0)=f^{k+1}(n+j_0)\Rightarrow$ f(n+j_0)=f(n)+i_0

με $\mid i_0 \mid , \mid j_0 \mid \leq2015$
Η τελευταία επαγωγικά δίνει f(n+lj_0)=f(n)+li_0

και

ακέραιοι.
Παίρνω j_0=1

. Tότε:

.
Παίρνω $\mid l \mid \leq 2015$ και λαμβάνω:
$\mid f(n+l)-f(n) \mid \leq 2015\Rightarrow \mid li_0 \mid \leq 2015$ . Επομένως για j_0=1

παίρνω

Άρα η

γίνεται

με

Μόνο οι

μου δίνουν συνάρτηση που να ικανοποιεί τα δεδομένα. Έτσι: f(n)=n+f(0)

για

και

για

.
Το 2015 μπορεί να αντικατασταθεί από οποιαδήποτε σίγουρα ακέραια ενδεχομένως και πραγματική σταθερά απ ότι βλέπω.
Σημείωση: Μπορώ να διαλέξω ότι j_0

θέλω διότι για κάθε j_0

υπάρχει ένα και μόνο i_0

που να ικανοποιεί τη δεδομένη σχέση. Εκεί που λέω "leq" είναι μικρότερο ή ίσο έχει κολλήσει και δεν μπορώ να το διροθώσω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 2:05 am

ΘΕΜΑ 4
Να προσδιορίσετε όλες τις 1-1 συναρτήσεις $f : \Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{|f(m) - f(n)| \leq 2015}$

για όλους τους ακεραίους και για τους οποίους $|m - n| \leq 2015.$

Αφου δημοσιεύθηκε λύση (δεν την έλεγξα ) ας περιγράψω την δική μου.

Με [a,b]

συμβολίζω όλους τους ακέραιους του κλειστού διαστήματος.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι
f(0)=0

(αλλιώς θεωρούμε την f-f(0)

)

(αλλιώς θεωρούμε την

).
Για

παίρνουμε ότι f([-2015,2015])=[-2015,2015]

(1)
γιατί η

είναι 1-1.
Εστω f(1)=k>1

Για

η αρχική σχέση δίνει f([-2014,2016])=[-2015+k,2015+k]

Τότε όμως τα 2016,2017

είναι εικόνες από στοιχεία του [-2014,2016]

που είναι ΑΤΟΠΟ λόγω της (1).
Αρα έχουμε f(1)=1

.
Κάνουμε επαγωγή.
Εστω f(1)=1,f(2)=2,..f(m)=m

Θα δείξουμε ότι f(m+1)=m+1

Εστω

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις

f([-2015+m,2015+m])=[-2015+m,2015+m]

και το προηγούμενο επιχείρημα καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ.

Το ίδιο γίνεται και αν υποθέσουμε ότι f(m+1)<0

Από επαγωγή είναι f(n)=n

για $n\in \mathbb{N}$

Για τα αρνητικά πάμε πάλι με επαγωγή.
Είναι f(-1)=-1

γιατί

κλπ

miltosk · #11

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 02, 2020 7:45 pm

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 2:05 am

ΘΕΜΑ 4
Να προσδιορίσετε όλες τις 1-1 συναρτήσεις $f : \Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{|f(m) - f(n)| \leq 2015}$

για όλους τους ακεραίους και για τους οποίους $|m - n| \leq 2015.$
Εστω

Μπορεί να κάνω λάθος διότι δεν μελέτησα διεξοδικά τη λύση.
Αλλά μήπως πρέπει να γίνει η υπόθεση ότι $\mid f(1) \mid>1$ ώστε ομοίως να αποδειχτεί ότι f(x)=-x

για

;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #12

miltosk έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 02, 2020 8:47 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 02, 2020 7:45 pm

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 2:05 am

ΘΕΜΑ 4
Να προσδιορίσετε όλες τις 1-1 συναρτήσεις $f : \Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{|f(m) - f(n)| \leq 2015}$

για όλους τους ακεραίους και για τους οποίους $|m - n| \leq 2015.$
Εστω
Μπορεί να κάνω λάθος διότι δεν μελέτησα διεξοδικά τη λύση.
Αλλά μήπως πρέπει να γίνει η υπόθεση ότι $\mid f(1) \mid>1$ ώστε ομοίως να αποδειχτεί ότι για ;

Οχι.Αν το κάνουμε έτσι θα μπλέξουμε.

Μια αρχική παρατήρηση είναι ότι αν η

είναι λύση τότε και
οι

,

είναι

Ετσι όπως έγραψα και στη λύση μου .

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι
f(0)=0

(αλλιώς θεωρούμε την f-f(0)

)

(αλλιώς θεωρούμε την

).

Βρίσκοντας την f(x)=x

όλες είναι f(x)=x+k

η

με

ακέραιο.

#13

harrisp έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 28, 2020 8:16 pm
Έστω $S={K_2,K_3...,K_{23}}$ το σύνολο των γνωστών καλεσμένων του . Εστω $T={K_{24},...,K_n}$ το σύνολο των μη-γνωστών καλεσμένων του . Τοποθετούμε κάθε καλεσμένο σε ένα κύκλο και ενώνουμε με μια γραμμή 2 καλεσμένους που γνωρίζονται.

Οι γραμμές που "φεύγουν" από το και πηγαίνουν στο είναι $21\cdot 22$ αφού κάθε στοιχείο του έχει 21 γραμμές προς στοιχεία του (22 απο κάθε στοιχείο πλην αυτή που πάει στον ).

Οι γραμμές που "φεύγουν" από το στο είναι $(n-23)\cdot 6$ αφου κάθε στοιχειό του έχει 6 κοινούς γνωστούς με τον άρα φεύγουν από αυτό 6 γραμμές προς το .

Εξισώνοντας τις γραμμές βρίσκουμε ότι στο πάρτυ οι καλεσμένοι ήταν .

Ωραία!
Μια διαφορετική (ισοδύναμη) διατύπωση είναι:

Μετράμε με δύο τρόπους τις διατεταγμένες τριάδες (A,B,C)

όπου

καλεσμένοι τέτοιοι ώστε ο

να γνωρίζει τους B,C,

όπου $B\ne C$ :
Αν σταθεροποιήσουμε τον

έχουμε $n\cdot 22\cdot 21$ τριάδες ενώ
αν σταθεροποιήσουμε τον

έχουμε $n \cdot (n-23) \cdot 6$ τριάδες.

Επομένως, $n\cdot 22\cdot 21=n\cdot (n-23) \cdot 6$ ή n=100.

stamas1 · #14

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 02, 2020 7:45 pm

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 2:05 am

ΘΕΜΑ 4
Να προσδιορίσετε όλες τις 1-1 συναρτήσεις $f : \Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{|f(m) - f(n)| \leq 2015}$

για όλους τους ακεραίους και για τους οποίους $|m - n| \leq 2015.$
Αφου δημοσιεύθηκε λύση (δεν την έλεγξα ) ας περιγράψω την δική μου.

Με συμβολίζω όλους τους ακέραιους του κλειστού διαστήματος.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι
(αλλιώς θεωρούμε την )
(αλλιώς θεωρούμε την ).
Για παίρνουμε ότι (1)
γιατί η είναι 1-1.
Εστω
Για η αρχική σχέση δίνει
Τότε όμως τα είναι εικόνες από στοιχεία του
που είναι ΑΤΟΠΟ λόγω της (1).
Αρα έχουμε .
Κάνουμε επαγωγή.
Εστω
Θα δείξουμε ότι
Εστω

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις

και το προηγούμενο επιχείρημα καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ.

Το ίδιο γίνεται και αν υποθέσουμε ότι

Από επαγωγή είναι για $n\in \mathbb{N}$

Για τα αρνητικά πάμε πάλι με επαγωγή.
Είναι γιατί
κλπ

Μπορείτε να αποδείξετε αυτά τα δυο ?
f(0)=0

(αλλιώς θεωρούμε την f-f(0)

)

(αλλιώς θεωρούμε την

).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #15

stamas1 έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 8:45 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 02, 2020 7:45 pm

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 2:05 am

ΘΕΜΑ 4
Να προσδιορίσετε όλες τις 1-1 συναρτήσεις $f : \Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{|f(m) - f(n)| \leq 2015}$

για όλους τους ακεραίους και για τους οποίους $|m - n| \leq 2015.$
Αφου δημοσιεύθηκε λύση (δεν την έλεγξα ) ας περιγράψω την δική μου.

Με συμβολίζω όλους τους ακέραιους του κλειστού διαστήματος.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι
(αλλιώς θεωρούμε την )
(αλλιώς θεωρούμε την ).
Για παίρνουμε ότι (1)
γιατί η είναι 1-1.
Εστω
Για η αρχική σχέση δίνει
Τότε όμως τα είναι εικόνες από στοιχεία του
που είναι ΑΤΟΠΟ λόγω της (1).
Αρα έχουμε .
Κάνουμε επαγωγή.
Εστω
Θα δείξουμε ότι
Εστω

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις

και το προηγούμενο επιχείρημα καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ.

Το ίδιο γίνεται και αν υποθέσουμε ότι

Από επαγωγή είναι για $n\in \mathbb{N}$

Για τα αρνητικά πάμε πάλι με επαγωγή.
Είναι γιατί
κλπ
Μπορείτε να αποδείξετε αυτά τα δυο ?
(αλλιώς θεωρούμε την )
(αλλιώς θεωρούμε την ).

Ευχαρίστως να τα αποδείξω.
Αν έχουμε μια

τότε η

είναι 1-1 ,ισχύει ότι g(x)-g(y)=f(x)-f(y)

και

Αντί

θέτουμε

.
Λόγω 1-1 το f(1)

δεν είναι

.
Αν

τότε θέτοντας g=-f

εχουμε ότι g(1)>0

και εχει τις άλλες ιδιότητες.
Αντί

θέτουμε

.

Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Μέλη σε σύνδεση