Προκριματικός Διαγωνισμός 2017

christinat · #41

christinat έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 25, 2020 10:33 pm
Θέματα μεγάλων
3)Θέτοντας στην αρχική σχέση (1) προκύπτει ότι

Αν τότε (2)

Αν τότε
Έστω
Οποτε (3)

Θέτω στην αρχική :
(4)

Έστω για κάθε πραγματικό

Αν $f(0)\neq 0$ :
Έστω $x{_{1}}$ , $x{_{2}}$ πραγματικοί αριθμοί και $f(x{_{1}})=f(x{_{2}})$

Τότε $-3f(x_{1})=-3f(x_{2})\Rightarrow f(-3f(x_{1}))=f(-3f(x_{2}))\Rightarrow h(x_{1})=h(x_{2})$

Αρα από την σχέση (2) έπεται ότι $x_{1}= x_{2}$ επομένως η είναι «1-1»

Η είναι συνεχής ως πράξη συνεχών συναρτήσεων

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(-3f(x))= \lim_{u\rightarrow l}f(u)$
, όπου

και $l=\lim_{x\rightarrow x_{0}}(-3f(x))$

Αφού συνεχής στο $x_{0} \in\mathbb{R}$ ισχύει ότι :
$\lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=h(x_{0})=f(-3f(x_{0}))=f(u_{0})$

Έστω ότι η συνάρτηση είναι ασυνεχής σε κάποιον πραγματικό $x_{0}$

Έτσι $l\neq u_{0}$ (A)

Αν πραγματικός:
$x_{0} \neq l$
Τότε η
είναι συνεχής στο αφού η $f(x)=\frac{-t(x)}{3}$ συνεχής στο l( συνεχής στο )

οποτε:
$\lim_{u\rightarrow l}f(u)=f(l)$

Επομένως $f(u_{0})=f(l)$ και αφού “1-1” θα είναι $u_{0}=l$ ,άτοπο από σχέση (A)

Αν $l=\propto$ τότε προφανώς $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= \lim_{x\rightarrow x_{0}}(\frac{-t(x)}{3})=\frac{-l}{3}=\propto$

Συνεπώς το $\doteq \lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(-3f(x))=\lim_{u\rightarrow l}f(u)$ βγαίνει άπειρο ,άτοπο αφού συνεχής

Άρα συνεχής
Επομένως και η συνεχής

Επειδή η είναι και συνεχής και «1-1» ,θα είναι γνησίως μονότονη

Απόδειξη:
Έστω $a,b,c\in \mathbb{R}$ με

Αν τότε:
Αφού συνεχής στο , $f(a) \neq f(b)$ και $f(c)\in [f(a),f(b)]$ από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών θα υπάρχει ένα τουλάχιστον $k \in (a,b)$ τέτοιο ώστε

Και επειδή η είναι «1-1» θα ισχύει ότι
Οποτε $c \in (a,b)$ ,άτοπο

Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και στις περιπτώσεις που
ή ή

Οπότε ή

Η

είναι παραγωγισιμη(από σχέση (2)) και με παραγώγιση προκύπτει ότι είναι γνησίως μονότονη( $f(0)\neq 0$ )

Από σχέση (2) έπεται ότι το σύνολο τιμών της

είναι όλο το $\mathbb{R}$

Επομένως το σύνολο τιμών της

είναι το $( -\propto ,+\propto )=\mathbb{R}$ *(αποδεικνύεται)

Οπότε υπάρχει πραγματικός αριθμός

τέτοιος ώστε f(v)=0

Θέτω στην αρχική y=v

:

Αρα

αρκεί $v\neq -1$

Από σχέση (4) για x=v

βγαίνει

(5)

Θέτω στην σχέση (5) x=0

:

Αν

τότε

για κάθε πραγματικό αριθμό

,άτοπο

Η αρχική σχέση μέσω της σχέσης (5) γίνεται :
f(x-3f(y))=xf(y)+f(x)(v+1-y)

(6)

Θέτοντας στην σχέση (2) x=v+1

προκύπτει ότι
$f(-3f(v+1))=-(v+1)f(0)+g(0)=0\Leftrightarrow f(-3f(v+1))=f(v)\Leftrightarrow f(v+1)=\frac{-v}{3}$ αφού

«1-1»

Θέτω στην σχέση (6) όπου y=v+1

Τότε $f(x+v)=\frac{-v}{3}x$

Για a=x+v

:
$f(a)=\frac{-v}{3}(a-v)$ και με αλλαγή μεταβλητής είναι
$f(x)=\frac{-v}{3}(x-v)$

Στην σχέση (5):
Έστω x=1

$g(1)=(v+1)f(1)\Rightarrow -8=(v+1)\frac{v(v-1)}{3} \Rightarrow (v+3)(v^{2}-3v+8)=0 \Rightarrow v=-3$

Άρα f(x)=x+3

και

christinat · #42

Πρόβλημα 2(Μεγάλων)
$A=\binom{4n}{2n}\frac{(2n)!}{n!}$ , όπου
$\frac{(2n)!}{n!}=(n+1)*(n+2)....*2n$

Εύκολα προκύπτει λοιπόν ότι ο αριθμός

είναι ακέραιος

Ισχύει ότι: $\frac{(2n)!}{n!}=2(2n-1)\frac{[2(n-1)]!}{(n-1)!}$

Όμοια $\frac{[2(n-1)]!}{(n-1)!}=2(2n-3)\frac{[2(n-2)!]}{(n-2)!}$

Έτσι προκύπτει μια αναδρομική ακολουθία κατά την οποία:

$a_{n}=2(2n-1)\frac{[2(n-1)]!}{(n-1)!}$ ,όπου

$\frac{[2(n-1)]!}{(n-1)!}=a_{n-1}$ για κάθε θετικό ακέραιο

Οπότε:
$a_{n}=2(2n-1)a_{n-1}$
$a_{n-1}=2(2n-3)a_{n-2}$
....
$a_{2}=2(2*2-1)a_{1}$
$a_{1}=2$

Έστω $P_{n}=a_{n}*a_{n-1}*...*a_{2}*a_{1}$
$P_{n-1}=a_{n-1}*a_{n-2}*....*a_{2}*a_{1}$

Πολλαπλασιάζοντας τους όρους της ακολουθίας κατά μέλη έπεται ότι : $P_{n}=2^{n}*(2n-1)*(2n-3)....*3P_{n-1}\Rightarrow \frac{P_{n}}{P_{n-1}}=2^{n}*(2n-1)*(2n-3)*...*3$

Οπότε $a_{n}=2^{n}*(2n-1)*(2n-3)*...*3$

Αφού $2^{n}|a_{n}$ τότε $2^{n}|\frac{(2n)!}{n!}$ (1)

Επιπλέον $\binom{4n}{2n}=\frac{4n(4n-1)!}{(2n)! (2n)!}=2\binom{4n-1}{2n}$

Άρα $2|\binom{4n}{2n}$ (2)

Από τις σχέσεις (1),(2) προκύπτει ότι το $2^{n+1}$ είναι παράγοντας του

Προκριματικός Διαγωνισμός 2017

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017

Μέλη σε σύνδεση