Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2021 (10η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

LXXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
28 Μαρτίου 2021 $\bullet$ 10η τάξη

Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένος ένας φυσικός αριθμός. Αν σβήσουμε το τελευταίο ψηφίο του (θέση μονάδων), τότε προκύπτει μη μηδενικός αριθμός, ο οποίος διαιρείται με το

και αν σβήσουμε το πρώτο ψηφίο, τότε με το

. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός που μπορεί να είναι γραμμένος στον πίνακα, αν το δεύτερο ψηφίο του δεν είναι μηδέν; (Μ.Α.Ευδοκίμοβ)

Πρόβλημα 2. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο, το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών του οποίου ισούται με την μεγάλη βάση του. Να αποδείξετε, ότι η οξεία γωνία μεταξύ των διαγώνιών του δεν υπερβαίνει τις 60^0

. (Α.Ντ. Μπλίνκοβ)

Πρόβλημα 3. Δίνεται μια άπειρη προς την μία πλευρά τετραγωνισμένη λωρίδα, τα κελιά της οποίας είναι αριθμημένα με τους θετικούς ακέραιους και ένας σάκος με δέκα βότσαλα. Στα κελιά της λωρίδας αρχικά δεν υπάρχουν βότσαλα. Μπορούμε να πράξουμε τα ακόλουθα:
- Να μετακινήσουμε ένα βότσαλο από τον σάκο στο πρώτο κελί της λωρίδας ή το αντίστροφο.
- Αν στο κελί με αριθμό

βρίσκεται βότσαλο, τότε επιτρέπεται να μετακινήσουμε ένα βότσαλο από το σάκο στο κελί με αριθμό i+1

ή το αντίστροφο.
Μπορούμε άραγε δρώντας με αυτό τον τρόπο, να τοποθετήσουμε βότσαλο στο κελί με αριθμό 1000

; (Α.Σεν)

Πρόβλημα 4. Στο εσωτερικό του τετράπλευρου ABCD

δίνεται σημείο

. Οι ευθείες

και

τέμνονται στο σημείο

. Προέκυψε, ότι η ευθεία

είναι εξωτερική διχοτόμος των γωνιών APD

και

. Έστω

και

οι διχοτόμοι των τριγώνων APB

και

. Να αποδείξετε, ότι τα σημεία

,

και

είναι συνευθειακά. (Φ.Κ. Νίλοβ)

Πρόβλημα 5. Έστω

και

πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί. Ένα βατράχι κάνει άλματα στην ευθεία των αριθμών, ξεκινώντας από το σημείο

, κάθε φορά είτε δεξιά κατά

, είτε αριστερά κατά

. Κάποια στιγμή το βατράχι γύρισε στο σημείο

. Να αποδείξετε, ότι για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό d < p+q

θα βρεθούν δυο αριθμοί, που τα έχει επισκεφτεί το βατράχι και διαφέρουν κατά

. (Ν. Μπελούχοβ)

Πρόβλημα 6. Άνω ακέραιο μέρος ενός αριθμού

ονομάζεται ο μικρότερος ακέραιος αριθμός, μεγαλύτερος ή ίσος του

. Να αποδείξετε, ότι υπάρχει τέτοιος αριθμός

, ώστε για οποιοδήποτε μη μηδενικό φυσικό αριθμό

η απόσταση από το άνω ακέραιο μέρος του $A^{n}$ μέχρι το πλησιέστερο τετράγωνο μη μηδενικού φυσικού αριθμού πάντα να είναι ίση με

. (Ντ. Μ. Κρέκοβ)

Στατιστικά: (917 συμμετοχές)
$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{\gr} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline + & 445 & 201 & 61 & 36 & 3 & 1 \\ \hline \pm & 76 & 8 & 7 & 0 & 4 & 0 \\ \hline \mp & 27 & 11 & 13 & 8 & 17 & 0 \\ \hline - & 311 & 469 & 589 & 236 & 353 & 110 \\ \hline 0 & 58 & 228 & 247 & 637 & 540 & 806 \\ \hline \end{tabular}$

Πηγή: Επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας
Edit: 11/06/21 Διόρθωση εκφώνησης στο 5ο θέμα.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 08, 2021 11:22 pm

Πρόβλημα 2. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο, το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών του οποίου ισούται με την μεγάλη βάση του. Να αποδείξετε ότι η οξεία γωνία μεταξύ των διαγώνιών του δεν υπερβαίνει τις (Α.Ντ. Μπλίνκοβ)

Έστω $\left( O,R \right)$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του ισοσκελούς τραπεζίου ABCD

και $\omega =\angle{APD}$ η οξεία γωνία των διαγωνίων του. Είναι:
$AD=BC=\dfrac{DC}{2}\leqslant R$ , οπότε $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}\leqslant 60^{\circ}$ και συνεπώς $\omega =\dfrac{\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}}{2}\leqslant 60^{\circ}$ .

: Moscow 2021.png (55.45 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #3

Πρόβλημα 1

Έστω $A=\overline{a_na_{n-1}...a_0}$ (προφανώς: $n\geq 3$ ). Από υπόθεση γνωρίζουμε πως: $20|\overline{a_na_{n-1}...a_1}$ . Η τελευταία δίνει: a_1=0

και $a_2 \in \begin{Bmatrix} 0,2,4,6,8 \end{Bmatrix}$ . Τώρα, θα ισχύει: $21|\overline{a_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0}$ . Τώρα, λόγω της τελευταίας, θα είναι: $3|\overline{a_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0}$ και, επομένως: $\displaystyle 3|\sum_{i = 0}^{n-1}a_i$ και, παράλληλα, $7|\overline{a_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0}$ . Προφανώς, τώρα, $n\neq 3$ , αλλιώς δε θα ήταν εφικτή η διαιρετότητα με το

. Παράλληλα, για να ισχύει η διαιρετότητα με το

, θα πρέπει $a_0+a_3+...+a_{n-2}+a_{n-2} \equiv 1 (\mod 3)$ $a_0+a_3+...+a_{n-2}+a_{n-2} \equiv 2 (\mod 3)$ ή $a_0+a_3+...+a_{n-2}+a_{n-2} \equiv 0 (\mod 3)$ . Τα τελευταία ψηφία του αριθμού θα πρέπει να είναι πολλαπλάσια μεγαλύτερα του 200

, λόγω της διαιρετότητας με το

και πολλαπλάσια του

.

Για

θα είναι: $\overline{a_320a_0}$ . Πρέπει, λοιπόν, $21|\overline{20a_0}$ . Όμως, το μικρότερο πολλαπλάσιο του 21 μεγαλύτερο από 200 είναι το 210 και του 400 το 420. Εντούτοις, για a_2=6

πολλαπλάσιο του

είναι το

, οπότε, παίρνουμε a_0=9

και, προκειμένου να είναι ο αριθμός ελάχιστος, επιλέγουμε: a_3=1

.

Συνεπώς, $A_{min}=1609$

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 08, 2021 11:22 pm

Πρόβλημα 2. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο, το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών του οποίου ισούται με την μεγάλη βάση του. Να αποδείξετε, ότι η οξεία γωνία μεταξύ των διαγώνιών του δεν υπερβαίνει τις . (Α.Ντ. Μπλίνκοβ)

Έστω

οπότε

Αρκεί $\displaystyle \cos \omega \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2\theta \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{{\cos ^2}\theta \ge \frac{3}{4}}$

: MOM(10).png (12.67 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές

Με Θ. Πτολεμαίου στο τραπέζιο και νόμο συνημιτόνου στο ADC

έχω:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} A{C^2} = {a^2} + 2ab\\ \\ {a^2} = A{C^2} + 4{a^2} - 4aAC\cos \theta \end{array} \right. \Rightarrow \cos \theta = \frac{{2a + b}}{{2\sqrt {{a^2} + 2ab} }}$

$\displaystyle {\cos ^2}\theta \ge \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{4{a^2} + 4ab + {b^2}}}{{4{a^2} + 8ab}} \ge \frac{3}{4} \Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0,$ που ισχύει.

Al.Koutsouridis · #5

Απλά να ενημερώσω ότι έκανα διόρθωση στην εκφώνηση του 5ου προβλήματος. Έλειπε η πρόταση " Κάποια στιγμή το βατράχι γύρισε στο σημείο 0". Ζητώ συγνώμη για όσους προσπάθησαν να το λύσουν και ταλαιπωρήθηκαν.

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2021 (10η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2021 (10η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας (10η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας (10η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας (10η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας (10η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση