Θέματα 8ης τάξης για την 2η φάση, 16 Φεβρουαρίου 2021.
1. Υπάρχει άραγε μια συλλογή
διαφορετικών θετικών ακέραιων, που έχουν την παρακάτω ιδιότητα: αν διαλέξουμε από αυτή οποιοδήποτε αριθμό 
, οι υπόλοιποι 
αριθμοί μπορούν να χωρισθούν σε ζεύγη έτσι, ώστε ο να διαιρείτε με την διαφορά των αριθμών κάθε ζεύγους;2. Στην πλευρά
ενός οξυγώνιου τριγώνου 
φέρουμε το ύψος 
και στο τμήμα 
σημειώνουμε σημείο 
έτσι, ώστε 
. Να αποδείξετε ότι η απόσταση μεταξύ των μέσων των τμημάτων 
και 
είναι δυο φορές μικρότερη της 
. (Α. Κουζντέσοφ)3. Ο Σίσυφος ανεβάζει στο βουνό από μια πέτρα την ημέρα. Η πρώτη και η δεύτερη πέτρα ζυγίζουν από
κιλό και το βάρος κάθε επόμενης ισούται είτε με το άθροισμα, είτε με την απόλυτη τιμή της διαφοράς των δυο προηγούμενων πετρών ( κάθε φορά της επιλογής του Σίσυφου, ωστόσο πέτρες μηδενικού βάρους δεν υπάρχουν). Ο Δίας υπέδειξε στον Σίσυφο δυο πρώτους μεταξύ τους φυσικούς αριθμούς 
, 
και του επέτρεψε να κάνει διάλειμμα αν, κάποια στιγμή αυτός ανεβάσει στο βουνό πέτρα βάρους και ακριβώς μετά από ένα χρόνο (μετά από 
μέρες), πέτρα βάρους . Να αποδείξετε ότι ο Σίσυφος μπορεί να δράσει έτσι ώστε κάποια στιγμή να κάνει το πολυπόθητο διάλλειμα. (Ο. Ιβάνοβα)4. Στην όχθη ενός ποταμού βρίσκονται
Σεΐχηδες, ο καθένας με ένα χαρέμι 
γυναικών. Επίσης στην όχθη υπάρχει ένα 
θέσιο κότερο. Σύμφωνα με τον κανόνα η γυναίκα δεν επιτρέπεται να βρίσκεται σε μια όχθη, στο σκάφος ή ακόμη και στην μεταφορά με έναν άντρα, αν δίπλα της δεν είναι ο σύζυγός της. Για ποιο ελάχιστο 
όλοι οι Σεΐχηδες με τις γυναίκες τους θα μπορέσουν να μεταφερθούν στην άλλη όχθη, χωρίς να παραβιάσουν τον κανόνα; (Α. Σόλνιν)Καταληκτική αίθουσα
5. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της έκφρασης
![\left [ \dfrac{8(b+c)}{a} \right ] +\left [ \dfrac{8(c+a)}{b} \right ] +\left [ \dfrac{8(a+b)}{c} \right]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/8f969017c10bafc0c595bc3f15b90e2c.png "\left [ \dfrac{8(b+c)}{a} \right ] +\left [ \dfrac{8(c+a)}{b} \right ] +\left [ \dfrac{8(a+b)}{c} \right]")
Όπου
και 
οποιοιδήποτε θετικοί ακέραιοι. (Ως συνήθως με ![[x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3e5314e9fd31509fdeb83faa0f729ba2.png "[x]")
συμβολίζουμε την ακέραια τιμή του αριθμού 
, δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος, που δεν υπερβαίνει τον .) (A. Χραμπρόβ) 6. Θα ονομάσουμε ένα σύνολο θετικών ακεραίων, που δεν υπερβαίνουν το
συντηρητικό, αν κανένα από τα στοιχεία του δεν είναι διαιρέτης του γινομένου όλων των υπόλοιπων στοιχείων και προοδευτικό, αν μαζί με οποιοδήποτε στοιχείο του περιέχει όλους τους διαιρέτες του, που δεν υπερβαίνουν το . Ποια σύνολα είναι περισσότερα τα συντηρητικά ή τα προοδευτικά; (Ντ. Σύριεβ)7. Δίνεται ένα κυρτό τετράπλευρο
. Το σημείο 
είναι τέτοιο, ώστε 
. Ομοίως ορίζονται και τα σημεία 
, 
και 
. Εξάλλου τα και βρίσκονται στο εσωτερικό του και τα , στο εσωτερικό του κυρτού τετράπλευρου 
. Να αποδείξετε ότι τα εμβαδά των τετράπλευρων και 
είναι ίσα. (Α. Κουζνέτσοφ)Πηγή
τα μέσα των 
αντίστοιχα. 
κι επειδή 
η 
θα είναι μεσοκάθετη του 
Άρα, 
.
, τότε χωρίζω τους υπόλοιπους στα ζεύγη 
και 
. Αφού σε κάθε ζεύγος η διαφορά είναι 
άρτιος, τους χωρίζουμε πάλι ως διαδοχικά ζεύγη με εξαίρεση τους δύο εκατέρωθεν του 
. Συγκεκριμένα τα ζεύγη είναι 
και 
και 
, τελειώσαμε.
είναι μία τέτοια συλλογή. Αν κάνουμε στην άκρη έναν περιττό 
Αν πάλι κάνουμε στην άκρη έναν άρτιο 
και τους υπόλοιπους ζεύγη διαδοχικών ακεραίων.
.![[x]>x-1](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c065c8d91bfdc054a09b9d6e15a48c78.png "[x]>x-1")
είναι ![\displaystyle{ \left [ \dfrac{8(b+c)}{a} \right ] +\left [ \dfrac{8(c+a)}{b} \right ] +\left [ \dfrac{8(a+b)}{c} \right] >\left ( \dfrac{8(b+c)}{a} -1 \right ) +\left ( \dfrac{8(c+a)}{b} -1 \right ) +\left ( \dfrac{8(a+b)}{c} -1 \right) = }](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/bfadd0feeb70ad073dea1a87de91869b.png "\displaystyle{ \left [ \dfrac{8(b+c)}{a} \right ] +\left [ \dfrac{8(c+a)}{b} \right ] +\left [ \dfrac{8(a+b)}{c} \right] >\left ( \dfrac{8(b+c)}{a} -1 \right ) +\left ( \dfrac{8(c+a)}{b} -1 \right ) +\left ( \dfrac{8(a+b)}{c} -1 \right) = }")
, σημαίνει ότι είναι 
. Τέλος, για 
η παράσταση ισούται με ![\left [ \dfrac{8(205)}{100} \right ] +\left [ \dfrac{8(203)}{102} \right ] +\left [ \dfrac{8(202)}{103} \right] = [16,4]+ [15,9..]+[15,68..]=16+15+15=46](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/89fd2897d7e0555cc70f90251752959b.png "\left [ \dfrac{8(205)}{100} \right ] +\left [ \dfrac{8(203)}{102} \right ] +\left [ \dfrac{8(202)}{103} \right] = [16,4]+ [15,9..]+[15,68..]=16+15+15=46")