Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2022 (7η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα της 7ης τάξης για την 2η φάση, 13 Φεβρουαρίου 2022.

1. 10 μαθητές συμμετείχαν σε μια ολυμπιάδα των 11 προβλημάτων. Η βαθμολογία των προβλημάτων γινόταν, μετά τον έλεγχο όλων των γραπτών, με τον εξής κανόνα: αν το πρόβλημα έχει λυθεί από ένα άτομο -4 μόρια, αν έχει λυθεί από 2 άτομα – 2 μόρια, αν από 3 ή 4 άτομα – 1 μόριο, αν περισσότερα από 4 άτομα – 0 μόρια. Να αποδείξετε ότι κάποιοι δυο μαθητές είχαν την ίδια βαθμολογία. (Ο. Ιβάνοβα)

2. Με του που ναυάγησε σε ένα έρημο νησί, την πρώτη κιόλας μέρα ο Ροβινσώνας Κρούσος συνάντησε την ιθαγενή Παρασκευή. Ο Ροβινσώνας ξέρει, ότι η Παρασκευή τις Παρασκευές λέει την αλήθεια και τις άλλες μέρες ψεύδεται. Κάθε μέρα ο Ροβινσώνας κάνει μια ερώτηση στην Παρασκευή της μορφής: «Αληθεύει ότι σήμερα είναι η τάδε μέρα της εβδομάδας;». Μπορεί άραγε ο Ροβινσώνας σε 4 μέρες με βεβαιότητα να μάθει, ποια μέρα της εβδομάδας ναυάγησε στο έρημο νησί; (Ντ. Σύριεβ, Ο. Μπαντάζκοβα)

3. Ένας φυσικός αριθμός

ονομάζεται εξαιρετικός, αν έχει έστω έναν περιττό πρώτο διαιρέτη και το άθροισμα οποιονδήποτε δυο πρώτων διαιρετών του (συμπεριλαμβανομένων ίδιων) είναι διαιρέτης του

. Να αποδείξετε, ότι οποιοσδήποτε εξαιρετικός αριθμός διαιρείται με τον ελάχιστο εξαιρετικό αριθμό. (Α. Σολύνιν)

4. Ένας πίνακας έχει την μορφή τετραγώνου $100 \times 100$ με αποκομμένα τα τέσσερα γωνιακά κελιά. Σε κάθε κελί του πίνακα βρίσκεται ένας αριθμός, εξάλλου κάθε αριθμός (εξαιρουμένων των αριθμών των συνοριακών κελιών) ισούται με τον μέσο όρο των τεσσάρων αριθμών, που βρίσκονται στα γειτονικά κατά πλευρά προς αυτό κελιά. Να αποδείξετε, ότι το άθροισμα των αριθμών στο σύνορο του πίνακα ισούται με το διπλάσιο του αθροίσματος των αριθμών βρισκόμενων στις δυο διαγώνιους του. (Για παράδειγμα στο σχήμα είναι σκιασμένα τα κελιά του συνόρου ενός $6 \times 6$ πίνακα) (Α. Σολύνιν)

: Screen Shot 2022-10-07 at 21.20.00.png (8.14 KiB) Προβλήθηκε 795 φορές

Καταληκτική αίθουσα

5. Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου ABC

(

) δίνεται το σημείο

. Το σημείο

είναι το μέσο του τμήματος

. Προέκυψε, ότι $\angle AKB = \angle ALC =90^0$ , AK=CL

. Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ABC

. (Α. Σολύνιν)

6. Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών αριθμών a, b , c

, που ικανοποιούν τις συνθήκες

a+b+c=3

, $a^2-a \geq 1-bc$ , $b^2-b \geq 1-ac$ , $c^2-c \geq 1-ab$ . (Μ. Αντίποβ)

7. Στο σχήμα απεικονίζεται το σχέδιο μιας πόλης. Οι κόμβοι είναι διασταυρώσεις και οι 35 γραμμές που τους ενώνουν, οδοί. Στις οδούς κινούνται

λεωφορεία. Όλα τα λεωφορεία ξεκινάνε ταυτόχρονα από διασταυρώσεις και κάθε λεπτό μετακινούνται σε γειτονική διασταύρωση μέσο των οδών. Εξάλλου το καθένα από αυτά κινείται σε κλειστή μη τεμνόμενη από τον εαυτό της διαδρομή. Σε κάθε διασταύρωση μπορούν να βρεθούν ταυτόχρονα κάμποσα λεωφορεία, αλλά σε μια οδό δεν επιτρέπεται να βρεθούν ταυτόχρονα πάνω από ένα λεωφορεία. Να βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή του

. (Ντ. Σύριεβ, Ο. Μπαντάζκοβα)

: Screen Shot 2022-10-07 at 21.20.11.png (12.33 KiB) Προβλήθηκε 795 φορές

Πηγή: Επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας.

vgreco · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 07, 2022 9:34 pm
5. Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου () δίνεται το σημείο . Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος . Προέκυψε, ότι $\angle AKB = \angle ALC =90^0$ , . Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου . (Α. Σολύνιν)

: P6_Petroupoli.png (24.97 KiB) Προβλήθηκε 751 φορές

Τα τρίγωνα $\triangle AKB$ και $\triangle ALC$ είναι ορθογώνια και έχουν AC = AB

,

, άρα είναι ίσα, δηλαδή BK = AL

.

Έστω

το μέσο του

. Φέρω

. Προφανώς: $\widehat{ALK} = 60^\circ \Rightarrow \widehat{CLK} = 30^\circ \Rightarrow \widehat{BLC} = 150^\circ$ .

Τώρα, τα τρίγωνα $\triangle LKC$ και $\triangle KMA$ είναι επίσης ίσα, οπότε: $\widehat{K} = \widehat{M} = 120^\circ \Rightarrow \widehat{CKA} = 150^\circ$

Όμως $\triangle AKC = \triangle BLC$ , απ' όπου:

$AB = BC = CA \Leftrightarrow \boxed{\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 60^\circ}$

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2022 (7η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2022 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2022 (7η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση