Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 11η, μέρα 1η)

Al.Koutsouridis · #1

XLIX Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα
Εκπαιδευτικό κέντρο «Σείριος», Σότσι 21-27 Απριλίου 2023
Θέματα της πρώτης μέρας για την 11η τάξη.

1. Ο αριθμός

είναι τέτοιος, ώστε $\sin x+\tan x$ και $\cos x +\cot x$ να είναι ρητοί αριθμοί. Να αποδείξετε, ότι ο αριθμός $\sin 2x$ είναι ρίζα δευτεροβάθμιας εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. (Ν. Αγκαχάνοβ)

2. 100

μαθητές έχουν μια τράπουλα 101

καρτών, οι οποίες είναι αριθμημένες με τους αριθμούς από

έως

. Ο πρώτος μαθητής ανακατεύει την τράπουλα, ύστερα επιλέγει από την κορυφή της ανακατεμένης τράπουλας μια κάρτα και με κάθε επιλογή κάρτας (συμπεριλαμβανομένης της πρώτης) γράφει στον πίνακα τον αριθμητικό μέσο των αριθμών όλων των καρτών που έχει διαλέξει την δεδομένη στιγμή. Έτσι αυτός γράφει 100

αριθμούς και όταν στην τράπουλα απομείνει μια κάρτα, τότε ξανά τοποθετεί της κάρτες στην τράπουλα, στην συνέχεια γίνεται το ίδιο, ξεκινώντας από το ανακάτεμα της τράπουλας, από τον δεύτερο μαθητή. Ύστερα ο τρίτος μαθητής, κ.ο.κ . Να αποδείξετε, ότι μεταξύ των γραμμένων στον πίνακα 10000

αριθμών θα βρεθούν δυο ίδιοι. (Α. Γκριμπάλκο)

3. Σε κάθε γραμμή ενός πίνακα $100 \times n$ με κάποια σειρά είναι τοποθετημένοι οι αριθμοί από το

έως το

, οι αριθμοί στην γραμμή δεν επαναλαμβάνονται (ο πίνακας έχει

γραμμές και 100

στήλες). Επιτρέπεται να ανταλλάξουμε την θέση δυο αριθμών σε μια γραμμή, που διαφέρουν κατά

, αν δεν είναι γειτονικοί. Προέκυψε ότι με την βοήθεια τέτοιων πράξεων δεν μπορούμε να λάβουμε δυο ίδιες γραμμές. Για ποιο μέγιστο

αυτό είναι δυνατό; (Μ. Αντίποβ)

4. Ο κύκλος $\omega$ είναι περιγεγραμμένος γύρω από το τρίγωνο ABC

, στο οποίο AB < AC

. Οι διχοτόμοι του τριγώνου ABC

τέμνονται στο σημείο

. Από το μέσο

της πλευράς

προς την ευθεία

φέρουμε την κάθετο

. Οι ευθείες

,

και

ορίζουν (οριοθετούν) το τρίγωνο $T_{b}$ και οι ευθείες

,

και

ορίζουν το τρίγωνο $T_{c}$ . Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $T_{b}$ και $T_{c}$ επανατέμνουν τον κύκλο $\omega$ στα σημεία $B^{\prime}$ και $C^{\prime}$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε, ότι το σημείο

βρίσκεται πάνω στην ευθεία $B^{\prime}C^{\prime}$ . (Α. Κουζνέτσοβ)

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Απρ 22, 2023 9:33 pm XLIX Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα
Εκπαιδευτικό κέντρο «Σείριος», Σότσι 21-27 Απριλίου 2023
Θέματα της πρώτης μέρας για την 11η τάξη.

1. Ο αριθμός είναι τέτοιος, ώστε $\sin x+\tan x$ και $\cos x +\cot x$ να είναι ρητοί αριθμοί. Να αποδείξετε, ότι ο αριθμός $\sin 2x$ είναι ρίζα δευτεροβάθμιας εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. (Ν. Αγκαχάνοβ)

Έστω $\displaystyle \sin x + \tan x = \frac{k}{l} \Leftrightarrow 2l\sin x\cos x + 2l\sin x = 2k \Leftrightarrow \sin x = \frac{{2k - l\sin 2x}}{{2l}}$

Ομοίως, αν $\displaystyle \cos x + \cot x = \frac{m}{n}$ βρίσκω $\displaystyle \cos x = \frac{{2m - n\sin 2x}}{{2n}},$ όπου $\displaystyle k,l,m,n$ ακέραιοι.

Αν θέσω $\displaystyle \sin 2x = t$ και αντικαταστήσω στην ταυτότητα $\displaystyle {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ καταλήγω στην εξίσωση

$\displaystyle ({l^2}{n^2}){t^2} - 2nl(kn + ml)t + 2({k^2}{n^2} + {m^2}{l^2} - {n^2}{l^2}) = 0$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Απρ 22, 2023 9:33 pm XLIX Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα
Εκπαιδευτικό κέντρο «Σείριος», Σότσι 21-27 Απριλίου 2023
Θέματα της πρώτης μέρας για την 11η τάξη.

4. Ο κύκλος $\omega$ είναι περιγεγραμμένος γύρω από το τρίγωνο , στο οποίο . Οι διχοτόμοι του τριγώνου τέμνονται στο σημείο . Από το μέσο της πλευράς προς την ευθεία φέρουμε την κάθετο . Οι ευθείες , και ορίζουν (οριοθετούν) το τρίγωνο $T_{b}$ και οι ευθείες , και ορίζουν το τρίγωνο $T_{c}$ . Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $T_{b}$ και $T_{c}$ επανατέμνουν τον κύκλο $\omega$ στα σημεία $B^{\prime}$ και $C^{\prime}$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε, ότι το σημείο βρίσκεται πάνω στην ευθεία $B^{\prime}C^{\prime}$ . (Α. Κουζνέτσοβ)

$\bullet$ Έστω $P\equiv MH\cap AB,E\equiv MH\cap IB,Q\equiv MH\cap AC,D\equiv MH\cap IC$ , τότε ${{T}_{b}}\to \vartriangle BEP,{{T}_{c}}\to \vartriangle CDQ,$ και ας είναι $S\equiv AT\cap \left( \omega \right),S\ne A$ το οποίο προφανώς είναι το μέσο του τόξου του κύκλου $\left( \omega \right)$ που δεν περιέχει το

(αφού

η ευθεία της διχοτόμου της γωνίας $\angle A$ του $\vartriangle ABC$ )

$\bullet$ Είναι $\angle HE{B}'\equiv \angle PE{B}'\overset{B,P,E,{B}'\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle AB{B}'\overset{A,{B}',B,S\in \left( \omega \right)}{\mathop{=}}\,\angle AS{B}'\equiv \angle HS{B}'\Rightarrow$
E,{B}',H,S

ομοκυκλικά , οπότε $\angle E{B}'S=\angle EHS={{90}^{0}}$ και συνεπώς η E{B}'

διέρχεται από το αντιδιαμετρικό {S}'

του

ως προς τον $\left( \omega \right)$
Με όμοιο τρόπο ( $\angle HD{C}'\overset{C,Q,D,{C}'o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle QC{C}'\equiv \angle AC{C}'\overset{A,C,{C}',S\in \left( \omega \right)}{\mathop{=}}\,$ ${{180}^{0}}-\angle AS{C}'\overset{\angle AS{C}'\equiv \angle HS{C}'}{\mathop{=}}\,{{180}^{0}}-\angle HS{C}'\Rightarrow H,D,{C}',S$ ομοκυκλικά άρα $\angle D{C}'S=\angle AHD={{90}^{0}}\Rightarrow {C}'D$ διέρχεται από το {S}'

Με

το μέσο του τόξου

(που δεν περιέχει το

) προφανώς η διάμετρος S{S}'

του $\left( \omega \right)$ διέρχεται (και είναι και κάθετη (μεσοκάθετη)) από το μέσο της χορδής

: Πανρωσική ολυμπιάδα 2023 (θέμα 4).png (75.68 KiB) Προβλήθηκε 739 φορές

$\bullet$ Επίσης είναι $\angle IDH\overset{\vartriangle IHD\left( \angle IHD={{90}^{0}} \right)}{\mathop{=}}\,{{90}^{0}}-\angle HID={{90}^{0}}-\angle SIC$ $\overset{\vartriangle AIC}{\mathop{=}}\,{{90}^{0}}-\left( \dfrac{\angle A}{2}+\dfrac{\angle C}{2} \right)=\dfrac{\angle B}{2}=\angle IBC\Rightarrow E,B,D,C$ ομοκυκλικά , άρα από το θεώρημα των τεμνομένων χορδών στον εν λόγω περίκυκλο θα έχουμε: $ME\cdot MD=MB\cdot MC\overset{{S}',B,S,C\in \left( \omega \right)}{\mathop{=}}\,M{S}'\cdot MS$ και σύμφωνα με το αντίστροφο του θεωρήματος των τεμνομένων χορδών τα σημεία {S}',D,S,E

είναι ομοκυκλικά, άρα
$\angle SD{C}'=\angle {S}'ES\equiv \angle {B}'ES$ και συνεπώς τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle S{C}'D,\vartriangle S{B}'E$ είναι όμοια (ορθογώνια με μια οξεία γωνία ίση) , άρα και $\angle {C}'SD=\angle {B}'SE:\left( 1 \right)$

$\bullet$ Έτσι έχουμε: $\angle {C}'HD\overset{H,S,{C}',D\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle {C}'SD\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{=}}\,\angle {B}'SE\overset{H,S,E,{B}'\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle {B}'HE$ και με E,H,D

συνευθειακά προκύπτει ότι και {B}',H,{C}'

συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 11η, μέρα 1η)

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 11η, μέρα 1η)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 11η, μέρα 1η)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 11η, μέρα 1η)

Μέλη σε σύνδεση