Διχοτόμηση από το Βελοντρόμ (αστειάκι!)

Henri van Aubel · #1

Δίνεται τρίγωνο ABC

με διχοτόμο

, έκκεντρο

και

το σημείο επαφής του έγκυκλού του με την πλευρά BC.

Αν η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας $\angle BAC$ επανατέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου ABC

στο σημείο

και οι ευθείες

και

τέμνονται στο σημείο

, να δείξετε ότι η ευθεία

διχοτομεί το τμήμα EZ.

Υ.Γ Παίζει η ΑΕΚ το βράδυ, πάμε να το τελειώσουμε! Ο Παναθηναϊκός έπρεπε να χάσει 5-0 και προκρίθηκε στα πέναλτι. Τι να πεις; ! Μπράβο πάντως και στον Ολυμπιακό για την πρόκριση, αν και ήταν χάλια το παιχνίδι προχθες, πολύ κλειστό !

vgreco · #2

Henri van Aubel έγραψε: Σάβ Αύγ 19, 2023 4:38 pm Δίνεται τρίγωνο με διχοτόμο , έκκεντρο και το σημείο επαφής του έγκυκλού του με την πλευρά Αν η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας $\angle BAC$ επανατέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο και οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο , να δείξετε ότι η ευθεία διχοτομεί το τμήμα

Υ.Γ Παίζει η ΑΕΚ το βράδυ, πάμε να το τελειώσουμε! Ο Παναθηναϊκός έπρεπε να χάσει 5-0 και προκρίθηκε στα πέναλτι. Τι να πεις; ! Μπράβο πάντως και στον Ολυμπιακό για την πρόκριση, αν και ήταν χάλια το παιχνίδι προχθες, πολύ κλειστό !

: dixotomisi.png (21.28 KiB) Προβλήθηκε 847 φορές

Ας είναι

η τομή της

με τον περίκυκλο του ABC

,

αυτή των

,

.

Ο πολλαπλασιασμός κατά μέλη των σχέσεων:

$\displaystyle{ \bullet \; \dfrac{NC}{NA} = \dfrac{MZ}{MA} }$ (θεώρημα Θαλή/ NC = NI

)

$\displaystyle{ \bullet \; \dfrac{BE}{BA} = \dfrac{NC}{NA} }$ (ομοιότητα των τριγώνων ABE

,

)

$\displaystyle{ \bullet \; \dfrac{EI}{IA} = \dfrac{BE}{BA} }$ (θ. διχοτόμου στο τρίγωνο ABE

)

$\displaystyle{ \bullet \; \dfrac{MZ}{MA} \cdot \dfrac{AI}{IE} \cdot \dfrac{EF}{FZ} = 1 }$ (θ. Μενελάου στο τρίγωνο AMI

με διατέμνουσα την ZFE

)

εξασφαλίζει την αλήθεια της ισότητας $\dfrac{EF}{FZ} = 1$ , άρα και της προς απόδειξη πρότασης.

Henri van Aubel · #3

Έστω

το μέσο του μικρού τόξου της χορδής

και

το μέσο του τμήματος BC.

Θεωρούμε την αντιστροφή πόλου

και ακτίνας NI.

Τα σημεία

μένουν σταθερά, το

πάει στο $E\left ( NI^{2}=NE\cdot NA \right )$ και το

πάει στο $K\left ( NI^{2}=NK\cdot NM \right ).$ Συνεπώς $\angle AMI=\angle EKI=\angle DKI\Rightarrow \angle AIM=\angle DIKand \angle ZIM=\angle EIK.$ Οπότε , έχουμε $\displaystyle \frac{MZ}{MA}=\frac{EK}{KD}=\frac{\displaystyle \frac{ab}{b+c}-\frac{a}{2}}{\displaystyle \frac{a+b-c}{2}-\frac{a}{2}}=\frac{a\left ( b-c \right )}{\left ( b+c \right )\left ( b-c \right )}=\frac{a}{b+c}=\frac{BE}{AB}=\frac{IE}{AI}\left ( 1 \right )$

Όμως, από θ. Μενέλαου στο τρίγωνο AZE

με διατέμνουσα $MXI\left ( MI\cap ZE=X \right )$ έχουμε $\displaystyle \frac{MZ}{MA}\cdot \frac{AI}{IE}\cdot \frac{EX}{XZ}=1\left ( 2\right )$

Από τις σχέσεις $\left ( 1 \right )$ και $\left ( 2 \right )$ παίρνουμε ότι $\displaystyle \frac{IE}{AI}\cdot \frac{AI}{IE}\cdot \frac{EX}{XZ}=1\Leftrightarrow EX=XZ\Rightarrow X$ μέσο του τμήματος

όπως θέλαμε. $\square$

Υ.Γ Γράφω τη λύση με μισό συκώτι, λόγω του χθεσινού αγώνα. Τα λέμε στα playoffs !

Διχοτόμηση από το Βελοντρόμ (αστειάκι!)

Διχοτόμηση από το Βελοντρόμ (αστειάκι!)

Re: Διχοτόμηση από το Βελοντρόμ (αστειάκι!)

Re: Διχοτόμηση από το Βελοντρόμ (αστειάκι!)

Μέλη σε σύνδεση