Πολυώνυμα!

Dimessi · #1

Έστω σταθερά $k\in \mathbb{R}.$ Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα $P\left ( x \right )\in \mathbb{R}\left [ x \right ],$ τέτοια ώστε $\displaystyle P\left ( x^{2} \right )=\left ( P\left ( x \right ) \right )^{2}-k\cdot P\left ( x \right )+\frac{k\left ( k+2 \right )}{4},$ για κάθε $x\in \mathbb{R}.$

#2

Η σχέση γράφεται ως

$\displaystyle{P(x^2)-\frac{k}{2}=(P(x)-\frac{k}{2})^2}$ ,

οπότε για το πολυώνυμο $\displaystyle{Q(x)=P(x)-\frac{k}{2}}$ ισχύει $\displaystyle{Q(x^2)=Q(x)^2.}$ Τότε ως γνωστόν είναι $\displaystyle{Q(x)=x^n.}$

Dimessi · #3

Πολύ ωραία, απλά έβαλα την άσκηση εν όψει Ευκλείδη το άλλο Σάββατο... γι αυτό είναι προσιτή. Για το πολυώνυμο $\displaystyle Q\left ( x \right )=P\left ( x \right )-\frac{k}{2}$ παίρνουμε $Q\left ( x^{2} \right )=\left ( Q\left ( x \right ) \right )^{2}$ και κατά τα γνωστά $\displaystyle Q\left ( x \right )=x^{n}\Rightarrow \boxed{P\left ( x \right )=x^{n}+\frac{k}{2}}$ με $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ σε περίπτωση που το $Q\left ( x \right )$ δεν είναι σταθερό. Αν είναι σταθερό, έστω $Q\left ( x \right )=c$ , παίρνουμε $c=0\vee c=1$ , δηλαδή λύσεις είναι και τα πολυώνυμα $\displaystyle \boxed{P\left ( x \right )=\frac{k}{2}}$ και $\displaystyle \boxed{P\left ( x \right )=\frac{k}{2}+1}.$

Πολυώνυμα!

Πολυώνυμα!

Re: Πολυώνυμα!

Re: Πολυώνυμα!

Μέλη σε σύνδεση