Θέματα της 1ης φάσης για την 11η τάξη, 18 Νοεμβρίου 2023
1. Σε κάθε κελί ενός πίνακα
(
γραμμές και 
στήλες) βρίσκεται ένα από τα γράμματα 
και 
. Σε κάθε γραμμή όλα τα γράμματα είναι διαφορετικά και σε κάθε στήλη υπάρχουν ακριβώς από 
γράμματα και . Να αποδείξετε, ότι οι γραμμές, στις οποίες είναι γραμμένη η λέξη (από αριστερά προς δεξιά) 
, είναι τόσες όσες και οι γραμμές, στις οποίες είναι γραμμένη (από αριστερά προς δεξιά) η λέξη 
.2. Στο τετράεδρο
οι γωνίες 
και 
είναι ορθές. Στο επίπεδο 
από το σημείο 
φέρουμε την εφαπτομένη προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου . Να αποδείξετε, ότι είναι κάθετη προς την ευθεία 
. 3. Από ένα λευκό πίνακα διαστάσεων
αποκόπηκαν τα κελιά, που βρίσκονταν στην τομή γραμμών με άρτιο αριθμό και στηλών με περιττό. Με μια κίνηση η Κατερίνα χρωματίζει δυο γειτονικά κατά πλευρά κελιά του πίνακα (μη αποκομμένα): το ένα με πράσινο χρώμα και το άλλο με κόκκινο. Ήδη χρωματισμένο νωρίτερα κελί επιτρέπεται να χρωματιστεί εκ νέου (πιθανόν και με άλλο χρώμα), αλλά κάθε κελί δεν επιτρέπεται να χρωματιστεί πάνω από δυο φορές. Τα χρώματα είναι αδιαφανή: για παράδειγμα, κελί, χρωματισμένο με κόκκινο πάνω σε πράσινο γίνεται κόκκινο. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός πράσινων κελιών που μπορεί να εμφανιστεί μετά από μερικές κινήσεις;4. Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος: ο
![\displaystyle{\sqrt[97]{2}+\sqrt[100]{2} +\sqrt[100]{2^{99}}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d63a08395b7f33dbe12471d71af84e5c.png "\displaystyle{\sqrt[97]{2}+\sqrt[100]{2} +\sqrt[100]{2^{99}}}")
ή ο 
;5. Ο Ανδρέας έγραψε στο τετράδιο τους φυσικούς αριθμούς
και 
. Προέκυψε, ότι στην γραφή τους τα ψηφία 
χρησιμοποιήθηκαν ίσο αριθμό φορών και τα ψηφία 
από ίσο αριθμό φορών, εξάλλου το ψηφίο 
κατά μια φορά περισσότερο από ότι το ψηφίο . Με ποιο ψηφίο ξεκινάει ο αριθμός 
;
, τότε τα σημεία 
βρίσκονται σε σφαίρα διαμέτρου 
το κέντρο της. 
το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου 
(το 
το επίπεδο που ορίζει το τρίγωνο 
η εφαπτόμενη στον περιγεγραμμένο κύκλου 
και 
, που είναι το ζητούμενο.
![\displaystyle \sqrt[97]{2}+\sqrt[100]{2} +\sqrt[100]{2^{99}}>\sqrt[100]{2}+\sqrt[100]{2} +\sqrt[100]{2^{99}}=2\sqrt[100]{2}+ \sqrt[100]{2^{99}}=\sqrt[100]{2^{101}}+\sqrt[100]{2^{99}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4637ca967e373fc556e93761bfe0a702.png "\displaystyle \sqrt[97]{2}+\sqrt[100]{2} +\sqrt[100]{2^{99}}>\sqrt[100]{2}+\sqrt[100]{2} +\sqrt[100]{2^{99}}=2\sqrt[100]{2}+ \sqrt[100]{2^{99}}=\sqrt[100]{2^{101}}+\sqrt[100]{2^{99}}")
.![\displaystyle \sqrt[100]{2^{101}}+\sqrt[100]{2^{99}}\geq 2\sqrt{\sqrt[100]{2^{200}}}=2\sqrt{2^2}=4](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/97cf26edc6effea9fe545b3fb52c2f0d.png "\displaystyle \sqrt[100]{2^{101}}+\sqrt[100]{2^{99}}\geq 2\sqrt{\sqrt[100]{2^{200}}}=2\sqrt{2^2}=4")
, επομένως ![\displaystyle{\sqrt[97]{2}+\sqrt[100]{2} +\sqrt[100]{2^{99}}}>4](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d9a0192a4d7f86e0a832136f30d822f9.png "\displaystyle{\sqrt[97]{2}+\sqrt[100]{2} +\sqrt[100]{2^{99}}}>4")
.