Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Al.Koutsouridis · #1

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση.
Θέματα της 1ης μέρας για την 11η τάξη. 31 Ιανουαρίου 2024.

1. Ο Χάρης έχει μια συλλογή από 2024

διαφορετικά τετραγωνισμένα ορθογώνια διαστάσεων $1 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3, \ldots, 1 \times 2024$ (από ένα ορθογώνιο κάθε μεγέθους). Μπορεί άραγε, διαλέγοντας μερικά από αυτά, να σχηματίσει κάποιο τετραγωνισμένο τετράγωνο εμβαδού μεγαλύτερου του

; (Ο. Ποντλίνσκϊι)

2. Έστω $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{2024}$ μια αύξουσα ακολουθία θετικών ακέραιων. Για $i=1, 2, \dots , 2024$ ορίζουμε $p_{i}= \left ( x_{1}-\dfrac{1}{x_{1}}\right ) \left ( x_{2}-\dfrac{1}{x_{2}}\right ) \ldots \left ( x_{i}-\dfrac{1}{x_{i}}\right )$ . Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος θετικών ακέραιων, που μπορεί να εμφανίζονται μεταξύ των αριθμών $p_{i}, p_{2}, \ldots, p_{2024}$ ; (Ν. Αγκαχάνοβ)

3. Σε ένα κύκλο βρίσκονται 100

λευκά σημεία. Η Άννα και ο Κώστας χρωματίζουν με την σειρά από ένα μη χρωματισμένο ήδη σημείο με κόκκινο ή μπλε χρώμα, ξεκινάει η Άννα. Η Άννα θέλει να προκύψουν όσο το δυνατό περισσότερα ζεύγη γειτονικών σημείων διαφορετικού χρώματος και ο Κώστας να προκύψουν όσο το δυνατό λιγότερα. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός ζευγών σημείων διαφορετικού χρώματος, που μπορεί να εξασφαλίσει η Άννα ανεξάρτητα το τι θα πράξει ο Κώστας; (Π. Κοζέβνικοβ)

4. Με διάμετρο το τμήμα

κατασκευάζουμε ημικύκλιο και διαλέγουμε τυχαίο σημείο

σε αυτό το τμήμα. Εννέα ημιευθείες με αρχή το σημείο

διαιρούν την ευθεία γωνία XZY

σε δέκα ίσα μέρη (γωνίες) και τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία $A_{1}, A_{2}, \dots , A_{9}$ αντίστοιχα (με διάταξη από το

προς

). Να αποδείξετε, ότι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων $A_{2}ZA_{3}$ και $A_{7}ZA_{8}$ είναι ίσο με το εμβαδόν του τετράπλευρου $A_{2}A_{3}A_{7}A_{8}$ . (Μ. Ευδοκίμοβ)

5. Η εξίσωση t^4+at^3+bt^2=(a+b)(2t-1)

έχει θετικές ρίζες $t_{1}<t_{2}<t_{3}<t_{4}$ . Να αποδείξετε, ότι $t_{1}t_{4} > t_{2}t_{3}$ . (Μ. Αντίποβ)

Πάνος Κωνσταντόπουλος · #2

3. Σε ένα κύκλο βρίσκονται 100 λευκά σημεία. Η Άννα και ο Κώστας χρωματίζουν με την σειρά από ένα μη χρωματισμένο ήδη σημείο με κόκκινο ή μπλε χρώμα, ξεκινάει η Άννα. Η Άννα θέλει να προκύψουν όσο το δυνατό περισσότερα ζεύγη γειτονικών σημείων διαφορετικού χρώματος και ο Κώστας να προκύψουν όσο το δυνατό λιγότερα. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός ζευγών σημείων διαφορετικού χρώματος, που μπορεί να εξασφαλίσει η Άννα ανεξάρτητα το τι θα πράξει ο Κώστας; (Π. Κοζέβνικοβ)

Ονομάζω νησί μπλε σημείων διαδοχικά μπλε σημεία, ώστε δεξιά του δεξιότερου και αριστερά του αριστερότερο σημείου του νησιού να έχω κόκκινο σημείο. Τότε τα ζεύγη γειτονικών σημείων διαφορετικού χρώματος έστω

θα είναι διπλάσια από τον αριθμό των νησιών, διότι για κάθε νησί το δεξιότερο του σημείο και το σημείο δεξιά του αποτελούν σημεία διαφορετικού χρώματος και όμοια για το αριστερότερο. Άρα ο

άρτιος.
Θα δείξω ότι η Άννα μπορεί να επιτύχει τουλάχιστον

ζεύγη σημείων διαφορετικού χρώματος. Πράγματι κάθε φορά που χρωματίζει σημείο εκτός από την πρώτη κίνησής της επιλέγει ένα λευκό σημείο που γειτονεύει με ένα χρωματισμένο και το χρωματίζει με διαφορετικό χρώμα. Άρα αφού κάνει ακριβώς

κινήσεις μετά την πρώτη της κίνηση $49 \leq n$ . Όμως ο

άρτιος άρα $50 \leq n$ .
Για να δείξω ότι το

είναι και ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να επιτευχθεί αρκεί να δείξω ότι με κατάλληλες κινήσεις του Κώστα μπορούν να δημιουργηθούν το πολύ

νησιά δηλαδή το πολύ

ζεύγη σημείων διαφορετικού χρώματος.
Χωρίζω τα 100

σημεία σε

τετράδες διαδοχικών σημείων και ας ονομάσουμε αρχή ενός μπλε νησιού το αριστερότερό του σημείο. Ο Κώστας πρέπει να σιγουρευτεί ότι σε κάθε τετράδα διαδοχικών σημείων ανήκει το πολύ μία αρχή μπλε νησιού. Αυτό επιτυγχάνεται αν οποτεδήποτε η Άννα χρωματίζει ένα σημείο μίας τετράδας ο Κώστας να χρωματίζει ένα διπλάνο του σημείο της ίδιας τετράδας το ίδιο χρώμα. Έτσι στην τετράδα αυτή όλα τα μπλε σημεία θα είναι διαδοχικά άρα μόνο το αριστερότερο ίσως αποτελεί αρχή μπλε νησιού. Αφού η Άννα παίζει πρώτη και ο Κώστας χρωματίζει στην ίδια τετράδα που χρωμάτισε η Άννα στην προηγούμενή της κίνηση, πράγματι δημιουργούνται το πολύ

νησιά και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

vgreco · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Φεβ 03, 2024 3:32 pm 4. Με διάμετρο το τμήμα κατασκευάζουμε ημικύκλιο και διαλέγουμε τυχαίο σημείο σε αυτό το τμήμα. Εννέα ημιευθείες με αρχή το σημείο διαιρούν την ευθεία γωνία σε δέκα ίσα μέρη (γωνίες) και τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία $A_{1}, A_{2}, \dots , A_{9}$ αντίστοιχα (με διάταξη από το προς ). Να αποδείξετε, ότι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων $A_{2}ZA_{3}$ και $A_{7}ZA_{8}$ είναι ίσο με το εμβαδόν του τετράπλευρου $A_{2}A_{3}A_{7}A_{8}$ . (Μ. Ευδοκίμοβ)

: geo_rus_11-2024.png (26.72 KiB) Προβλήθηκε 822 φορές

Έστω $C \equiv A_3 A_8 \cap A_2 A_7$ , όπως στο σχήμα. Αρκεί να δείξω πως $\bigl( A_2 A_8 Z \bigr) = \bigl( A_3 A_7 Z \bigr)$ .

Εύκολα προκύπτει πως $\widehat{A_7 C A_8} = 18^\circ$ , άρα το A_7 A_8 Z C

είναι εγγράψιμο και ως εκ τούτου $\widehat{A_3 A_8 Z} = \widehat{A_2 A_7 Z}$ . Επομένως:

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} \overset{\triangle}{A_3 A_8 Z}: \tan \widehat{A_3 A_8 Z} = \dfrac{A_3 Z}{A_8 Z} \\[0.2in] \overset{\triangle}{A_2 A_7 Z}: \tan \widehat{A_2 A_7 Z} = \dfrac{A_2 Z}{A_7 Z} \\[0.05in] \end{aligned} \right\} \overset{\widehat{A_3 A_8 Z} \; = \; \widehat{A_2 A_7 Z}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} \dfrac{A_3 Z}{A_8 Z} = \dfrac{A_2 Z}{A_7 Z} \Leftrightarrow \boxed{A_3 Z \cdot A_7 Z = A_2 Z \cdot A_8 Z} \quad (1) }$

Τέλος, παρατηρώ ότι οι γωνίες $\widehat{Z}$ των τριγώνων A_2 A_8 Z

και

είναι παραπληρωματικές, και έτσι:

$\displaystyle{ \dfrac{\bigl( A_2 A_8 Z \bigr)}{\bigl( A_3 A_7 Z \bigr)} = \dfrac{A_2 Z \cdot A_8 Z}{A_3 Z \cdot A_7 Z} \overset{(1)}{\Leftarrow \joinrel=\joinrel \Rightarrow} \dfrac{\bigl( A_2 A_8 Z \bigr)}{\bigl( A_3 A_7 Z \bigr)} = 1 \Leftrightarrow \boxed{ \bigl( A_2 A_8 Z \bigr) = \bigl( A_3 A_7 Z \bigr) } }$

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Μέλη σε σύνδεση