Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 2η μέρα)

Al.Koutsouridis · #1

LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
31 Μαρτίου 2024 $\bullet$ 11η τάξη, 2η μέρα

Πρόβλημα 1. Υπάρχει άραγε στο καρτεσιανό επίπεδο σημείο, ως προς το οποίο είναι συμμετρική η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{1}{2^{x}+1}$ ; (Ντ. Γκοριάσιν)

Πρόβλημα 2. Ένα πρωτάθλημα ποδοσφαίρου διεξήχθη σε δυο γύρους. Σε κάθε γύρο κάθε ομάδα έπαιξε με κάθε άλλη ομάδα μια φορά (στην νίκη δίνονται τρεις πόντοι, στην ισοπαλία ένας και στην ήττα μηδέν). Προέκυψε ότι όλες οι ομάδες μαζί στο πρώτο γύρο συγκέντρωσαν το

% του συνολικού αριθμού βαθμών που συγκεντρώθηκαν στους δυο γύρους. Επίσης είναι γνωστό, ότι ο νικητής του πρωταθλήματος συγκέντρωσε στον δεύτερο γύρο

φορές λιγότερους βαθμούς, από ότι όλες οι ομάδες μαζί στον πρώτο γύρο. Πόσες ομάδες συμμετείχαν στο πρωτάθλημα; (Μ. Ευδοκίμοβ)

Πρόβλημα 3. Να αποδείξετε, ότι αν για $n \in N$ ο αριθμός $2+2\sqrt{12n^2+1}$ είναι ακέραιος, τότε θα είναι τέλειο τετράγωνο. (Τ. Γκαρμάνοβα)

Πρόβλημα 4. Στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC

τα ύψη του $AH_{A}, BH_{B}$ και $CH_{C}$ τέμνονται στο σημείο

. Από τα σημεία, στα οποία ο κύκλος ακτίνας $HH_{A}$ με κέντρο το σημείο

τέμνει τα τμήματα

και

, φέρουμε ευθεία $l_{A}$ . Αναλόγα φέρουμε τις ευθείες $l_{B}$ και $l_{C}$ . Να αποδείξετε, ότι το σημείο τομής των υψών του τριγώνου, που σχηματίζεται από τις ευθείες $l_{A}, l_{B}, l_{C}$ , συμπίπτει με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

. (Ι. Μιχαϊλοβ)

Πρόβλημα 5. Η Αθηνά και η Άρτεμις ανεξάρτητα η μια από την άλλη διαμερίζουν ένα λευκό πίνακα $100 \times 100$ σε τυχαίες ομάδες κελιών, η κάθε μια (ομάδα κελιών) με άρτιο αριθμό κελιών (αλλά όχι απαραίτητα ίδιο) και η κάθε μια της δικιάς της επιλογής ομάδων. Αληθεύει άραγε, ότι μετά από αυτό πάντα μπορούν να χρωματιστούν τα μισά κελιά κάθε ομάδας της διαμέρισης της Αθηνάς με μαύρο χρώμα έτσι, ώστε σε κάθε ομάδα της διαμέρισης της Άρτεμις να είναι ίσα σε αριθμό τα μαύρα και τα λευκά κελιά; (Α. Γκριμπάλκο, Ι. Μιχαϊλοβ)

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Απρ 01, 2024 9:25 pm
Πρόβλημα 1. Υπάρχει άραγε στο καρτεσιανό επίπεδο σημείο, ως προς το οποίο είναι συμμετρική η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{1}{2^{x}+1}$ ; (Ντ. Γκοριάσιν)

Ναι υπάρχει. Είναι το σημείο της $(0,f(0))= \left (0, \dfrac {1}{2} \right)$ γιατί είναι το μέσον (για κάθε χ) του ευθυγράμμου τμήματος που συνδέει τα (x,f(x))

και

. Έλεγχος: Το εν λόγω μέσον είναι το

$\displaystyle{ \left (\dfrac {x+(-x)}{2} , \dfrac {f(x) + f(-x) }{2} \right) = \left (\dfrac {x+(-x)}{2} , \dfrac { \dfrac{1}{2^{x}+1}+ \dfrac{1}{2^{-x}+1}}{2} \right ) = \left (\dfrac {x+(-x)}{2} , \dfrac { \dfrac{1}{2^{x}+1}+ \dfrac{2^x}{2^{x}+1}}{2} \right ) = \left (0, \dfrac {1}{2} \right) }$

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 2η μέρα)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 2η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 2η μέρα)

Μέλη σε σύνδεση