Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (6η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα της 6ης τάξης για την 2η φάση, 11 Φεβρουαρίου 2024.

1. Στο Νεπάλ όλα τα βουνά έχουν διαφορετικά ονόματα, διαφορετικά ύψη και όλες οι αποστάσεις μεταξύ αυτών είναι διαφορετικές. Δυο αλπινιστές πήγαν να κατακτήσουν τις κορυφές. Ο καθένας τους κατευθύνθηκε σε κάποια κορυφή και ύστερα έπραξε κατά τον ακόλουθο αλγόριθμο: κατακτώντας μια κορυφή, διάλεγε από όλες τις υψηλότερες κορυφές την πιο κοντινή και κατακτούσε αυτήν. Αν υψηλότερες κορυφές πλέον δεν υπήρχαν, ο αλπινιστής γυρνούσε σπίτι. Ως αποτέλεσμα ο πρώτος αλπινιστής κατέκτησε όλες τις κορυφές εκτός από την Αγγέλων και ο δεύτερος όλες τις κορυφές εκτός από την Δαιμόνων. Ποιο βουνό είναι ψηλότερο των Αγγέλων ή των Δρακόντων;

2. Ένας τουρίστας επισκέφτηκε ένα νησί, όπου κατοικούν άτομα ο καθένας εκ των οποίων είτε λέει πάντα την αλήθεια, είτε λέει πάντα ψέματα. Ο τουρίστας μπορεί να διαλέξει οποιαδήποτε ομάδα πέντε ατόμων και να ρωτήσει έναν εξ αυτών: Αληθεύει άραγε ότι μεταξύ των υπόλοιπων τεσσάρων το πλήθος αυτών που λένε την αλήθεια είναι άρτιο; Μπορεί άραγε ο τουρίστας με ερωτήσεις να προσδιορίσει, αν είναι άρτιο ή περιττό το πλήθος αυτών που λένε πάντα την αλήθεια στο νησί;

3. Η νιφάδα είναι ένα σχήμα που αποτελείτε από κελιά, που απεικονίζεται στο σχήμα (σημειωμένο είναι το κεντρικό κελί της νιφάδας). Σε ένα τετραγωνισμένο επίπεδο πεπερασμένος αριθμός κελιών είναι χρωματισμένος με κόκκινο, μπλε και πράσινο χρώμα. Μπορεί άραγε να προκύψει έτσι, ώστε σε κάθε νιφάδα με κόκκινο κέντρο τα μπλε κελιά είναι περισσότερα από τα πράσινα, σε κάθε νιφάδα με μπλε κέντρο τα πράσινα περισσότερα από ότι τα κόκκινα και σε κάθε νιφάδα με πράσινο κέντρο τα κόκκινα περισσότερα από ότι τα μπλε;

Screenshot 2024-09-21 at 14.36.54.png (8.82 KiB) Προβλήθηκε 766 φορές

4. Στον πίνακα είναι γραμμένοι διαφορετικοί μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι δεν μπορεί να προκύψει έτσι, ώστε κάθε αριθμός από το έως το να προκύψει να είναι μέγιστος κοινός διαιρέτης κάποιων δυο (διαφορετικών) αριθμών του πίνακα.

Καταληκτική αίθουσα

5. Σε ένα κυκλικό αυτοκινητόδρομο βρίσκονται χωριά. Στον αυτοκινητόδρομο κινούνται λεωφορεία, κάθε λεωφορείο κινείται από κάποιο ένα χωριό σε κάποιο άλλο και πίσω στην ίδια διαδρομή, κάνοντας στάση σε όλα τα χωριά της διαδρομής. Εξάλλου σε κάθε χωριό κάνει στάση τουλάχιστον ένα λεωφορείο και για οποιαδήποτε δυο χωριά υπάρχει λεωφορείο, το οποίο κάνει στάση ακριβώς σε ένα από αυτά. Ποιος είναι ο ελάχιστο αριθμός των λεωφορείων που μπορεί να κινούνται στον αυτοκινητόδρομο;

6. Ο Γιώργος ύψωσε τον αριθμό σε κάποια δύναμη (μη μηδενικό φυσικό αριθμό) και του προέκυψε αριθμός, που αποτελείται από άρτιο αριθμό ψηφίων. Ο Γιάννης έγραψε τα ψηφία αυτού του αριθμού με αντίστροφη σειρά και παρατήρησε ότι του προέκυψε δύναμη του αριθμού . Να αποδείξετε ότι κάποιο από τα δυο παιδιά έσφαλε.

[Demetres]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα της 6ης τάξης για την 2η φάση, 11 Φεβρουαρίου 2024.
5. Σε ένα κυκλικό αυτοκινητόδρομο βρίσκονται χωριά. Στον αυτοκινητόδρομο κινούνται λεωφορεία, κάθε λεωφορείο κινείται από κάποιο ένα χωριό σε κάποιο άλλο και πίσω στην ίδια διαδρομή, κάνοντας στάση σε όλα τα χωριά της διαδρομής. Εξάλλου σε κάθε χωριό κάνει στάση τουλάχιστον ένα λεωφορείο και για οποιαδήποτε δυο χωριά υπάρχει λεωφορείο, το οποίο κάνει στάση ακριβώς σε ένα από αυτά. Ποιος είναι ο ελάχιστο αριθμός των λεωφορείων που μπορεί να κινούνται στον αυτοκινητόδρομο;

Θα δείξουμε ότι γίνεται με λεωφορεία αλλά όχι με λιγότερα.

Ας ονομάσουμε τα χωριά με τη σειρά που εμφανίζονται.

Αν έχουμε ένα λεωφορείο που ξεκινάει από το χωριό , περνάει από τα και καταλήγει στο (όλοι οι αριθμοί modulo ) τότε τοποθετούμε ένα διαχωριστικό μεταξύ των χωριών και και ένα άλλο μεταξύ των χωριών και .

Για κάθε , αν υπάρχει λεωφορείο που περνάει ακριβώς από ένα από τα και , τότε αναγκαστικά πρέπει να υπάρχει διαχωριστικό μεταξύ τους. Άρα θέλουμε τουλάχιστον διαχωριστικά και λεωφορεία.

Αν έχουμε λεωφορεία αριθμημένα από το ως το και το λεωφορείο κάνει τη διαδρομή θα δείξω ότι το ζητούμενο ικανοποιείται. Από συμμετρία αρκεί να ελέγξουμε αν για κάθε ζεύγος χωριών της μορφής και ισχύει το ζητούμενο.

Για παίρνω τη διαδρομή .
Για παίρνω τη διαδρομή .
Για παίρνω τη διαδρομή .
Για παίρνω τη διαδρομή .

[Demetres]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα της 6ης τάξης για την 2η φάση, 11 Φεβρουαρίου 2024.


6. Ο Γιώργος ύψωσε τον αριθμό σε κάποια δύναμη (μη μηδενικό φυσικό αριθμό) και του προέκυψε αριθμός, που αποτελείται από άρτιο αριθμό ψηφίων. Ο Γιάννης έγραψε τα ψηφία αυτού του αριθμού με αντίστροφη σειρά και παρατήρησε ότι του προέκυψε δύναμη του αριθμού . Να αποδείξετε ότι κάποιο από τα δυο παιδιά έσφαλε.

Αν ο αριθμός του Γιώργου είναι ο , τότε είναι ισότιμος με . Ο αριθμός του Γιάννη είναι ο που είναι ισότιμος με . Το άθροισμά τους λοιπόν είναι πολλαπλάσιο του .

Κάθε δύναμη του αφήνει υπόλοιπο ή modulo .
Κάθε δύναμη του αφήνει υπόλοιπο ή modulo .

Δεν μπορούμε όμως να επιλέξουμε δύο υπόλοιπα το άθροισμα των οποίων να είναι .

[abfx]

1. Στο Νεπάλ όλα τα βουνά έχουν διαφορετικά ονόματα, διαφορετικά ύψη και όλες οι αποστάσεις μεταξύ αυτών είναι διαφορετικές. Δυο αλπινιστές πήγαν να κατακτήσουν τις κορυφές. Ο καθένας τους κατευθύνθηκε σε κάποια κορυφή και ύστερα έπραξε κατά τον ακόλουθο αλγόριθμο: κατακτώντας μια κορυφή, διάλεγε από όλες τις υψηλότερες κορυφές την πιο κοντινή και κατακτούσε αυτήν. Αν υψηλότερες κορυφές πλέον δεν υπήρχαν, ο αλπινιστής γυρνούσε σπίτι. Ως αποτέλεσμα ο πρώτος αλπινιστής κατέκτησε όλες τις κορυφές εκτός από την Αγγέλων και ο δεύτερος όλες τις κορυφές εκτός από την Δαιμόνων. Ποιο βουνό είναι ψηλότερο των Αγγέλων ή των Δρακόντων;

Έστω και οι δύο αλπινιστές και έστω και οι κορυφές που κατέκτησαν με τη σειρά που κατακτήθηκαν.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι αφού αλλιώς θα ακολουθούσαν ακριβώς την ίδια διαδρομή και άρα, θα κατακτούσαν τελικά ακριβώς τα ίδια βουνά.

Αν για κάποιο , τότε έχουμε , οπότε

ο δεν κατακτά ούτε το βουνό των Αγγέλων, ούτε των Δαιμόνων άτοπο. Άρα για κάθε .

Με αντίστοιχη επιχειρηματολογία για κάθε . Άρα είναι το βουνό των Δαιμόνων και το βουνό των Αγγέλων.

Έτσι, το βουνό των Δρακόντων είναι κάποιο όπου , οπότε είναι ψηλότερο από το , το βουνό των Αγγέλων.

Τα παραπάνω με επιφύλαξη διότι ενδέχεται να μην κατάλαβα σωστά την εκφώνηση.