Προκριματικός Διαγωνισμός 2003

#1

: 2003.PNG (84.2 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Tην Άσκηση 3 την έχουμε δει στην παρακάτω δημοσίευση
viewtopic.php?f=109&t=41629

#3

Άσκηση 2

$\displaystyle a = b + \frac{c}{2} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4} + bc$ και με $\rm Stewart$ καταλήγω στην ισότητα

: Προκριματικός 2003.png (8.38 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

$\displaystyle P{C^2} = {b^2} + \frac{{3bc}}{4} = A{C^2} + AC \cdot AP,$ απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο.

mick7 · #4

Για το 1)

Καταλήγουμε μετά από εύκολες πράξεις στην (2x-1)^2+(2y-1)^2+(2z-1)^2=7

Θέτοντας $2x-1=\frac{a}{b}$ , $2y-1=\frac{a_{1}}{b_{1}}$ , $2z-1=\frac{a_{2}}{b_{2}}$

Όπου $a,b,a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}$ ακέραιοι

Καταλήγουμε στην $(ab_{1}b_{2})^2+(ba_{1}b_{2})^2+(bb_{1}a_{2})^2=7\cdot(bb_{1}b_{2})^2$

Από το θεώρημα των τριών τετράγωνων του Legendre δεν ισχύει.

https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre% ... re_theorem

#5

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 08, 2025 8:21 pm
Για το 1)

Καταλήγουμε μετά από εύκολες πράξεις στην

Θέτοντας $2x-1=\frac{a}{b}$ , $2y-1=\frac{a_{1}}{b_{1}}$ , $2z-1=\frac{a_{2}}{b_{2}}$

Όπου $a,b,a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}$ ακέραιοι

Καταλήγουμε στην $(ab_{1}b_{2})^2+(ba_{1}b_{2})^2+(bb_{1}a_{2})^2=7\cdot(bb_{1}b_{2})^2$

Από το θεώρημα των τριών τετράγωνων του Legendre δεν ισχύει.

https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre% ... re_theorem

.
Σωστά, αλλά λείπει ένα βήμα για να δούμε ότι εφαρμόζεται το εν λόγω Θεώρημα του Legendre. Συγκεκριμένα, να δούμε ότι οι αριθμοί της μορφής $7(bb_{1}b_{2})^2$ επιδέχονται παραγοντοποίηση της μορφής 4^a(8N+7)

.

Συμπληρώνω: Για φυσικούς $b,\, b_1,\, b_2$ γράφουμε $bb_{1}b_{2}= 2^m(2P+1)$ (η ανάλυση σε πρώτους μας λέει ότι επιτρέπεται αυτό, αλλά μπορεί να είναι m=0

ή

.)

Επιλέγουμε τότε $a=m, \, N=\frac {7}{2}P(P+1)$ το οποίο είναι ακέραιος διότι ο P(P+1)

είναι άρτιος ως γινόμενο διαδοχικών. Είναι τότε

$7(bb_{1}b_{2})^2 = 7 \cdot [2^m (2P+1)]^2 = 4^m \cdot 7 ( 2P +1)^2 =$

$= 4^m \cdot 7 ( 4P^2 + 4P +1) = 4^m \left (\dfrac {7}{2} \cdot 8P(P+1) +7 \right ) =4^a(8N+7)$ , που ολοκληρώνει το ζητούμενο.

Προκριματικός Διαγωνισμός 2003

Προκριματικός Διαγωνισμός 2003

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2003

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2003

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2003

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2003

Μέλη σε σύνδεση