Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2005

#1

: 2005.PNG (80.47 KiB) Προβλήθηκε 806 φορές

#2

Λύση στο πρόβλημα 2, δηλαδή απόδειξη της ανισότητας $\displaystyle{\dfrac {x^2-y^2}{2x^2+1} +\dfrac {y^2-z^2}{2y^2+1} +\dfrac {z^2-x^2}{2z^2+1} \le 0}$ .

Πολλαπλασιάζοντας επί

έχουμε ισοδύναμα να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\dfrac {2x^2+1-2y^2-1}{2x^2+1} +\dfrac {2y^2+1-2z^2-1}{2y^2+1} +\dfrac {2z^2+1-2x^2-1}{2z^2+1} \le 0}$ και άρα (σπάζοντας τα κλάσματα και πηγαίνοντας τους αρνητικούς στο άλλο μέλος) θέλουμε να δείξουμε ότι

$\displaystyle{ 3 \le \dfrac {2y^2+1}{2x^2+1} +\dfrac {2z^2+1}{2y^2+1} +\dfrac {2x^2+1}{2z^2+1} }$

Αλλά αυτή είναι άμεση από ΑΜ-ΓΜ καθώς το δεξί μέλος είναι

$\displaystyle{ \ge 3 \sqrt [3]{ \dfrac {2y^2+1}{2x^2+1} \cdot \dfrac {2z^2+1}{2y^2+1} \cdot \dfrac {2x^2+1}{2z^2+1} }=3}$

STOPJOHN · #3

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 19, 2024 10:46 pm
2005.PNG

Λυση στο πρόβλημα 3

Στο τρίγωνο

APB

είναι

$\hat{BAM}=\hat{MPA}=\hat{\omega }, MP=AM=MB,AP\perp \Delta B,\hat{\Gamma A\Delta }=\omega =\hat{\Delta B\Gamma },\hat{A\Delta \Gamma }=90^{0},$

Τα τρίγωνα

$\Delta PA,\Delta \Sigma \Gamma$ είναι όμοια γιατί είναι ορθογώνια και

$\hat{ADB}=\hat{\Sigma \Gamma \Delta },\Delta P.\Delta \Sigma =\Gamma \Sigma .AP,(*)$

Ακόμη τα τρίγωνα

$B\Sigma \Gamma ,APB,$ είναι ορθογώνια και όμοια

, $PB.\Sigma B=AP.\Sigma \Gamma ,(**), (*) ,(**)\Rightarrow \Delta \Sigma =BP$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

STOPJOHN έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 20, 2024 9:53 am

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 19, 2024 10:46 pm
2005.PNG
Λυση στο πρόβλημα 3

Στο τρίγωνο

είναι

$\hat{BAM}=\hat{MPA}=\hat{\omega }, MP=AM=MB,AP\perp \Delta B,\hat{\Gamma A\Delta }=\omega =\hat{\Delta B\Gamma },\hat{A\Delta \Gamma }=90^{0},$

Τα τρίγωνα

$\Delta PA,\Delta \Sigma \Gamma$ είναι όμοια γιατί είναι ορθογώνια και

$\hat{ADB}=\hat{\Sigma \Gamma \Delta },\Delta P.\Delta \Sigma =\Gamma \Sigma .AP,(*)$

Ακόμη τα τρίγωνα

$B\Sigma \Gamma ,APB,$ είναι ορθογώνια και όμοια

, $PB.\Sigma B=AP.\Sigma \Gamma ,(**), (*) ,(**)\Rightarrow \Delta \Sigma =BP$

Από το Ο φέρουμε την κάθετο στην ΒΔ.

S.E.Louridas · #5

Για το πρόβλημα 2.
Απλά για την ιστορία:
Θέτουμε: $2{x^2} + 1 = 2a > 0,\;2{y^2} + 1 = 2b > 0,\;2{y^2} + 1 = 2b > 0.$ Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι:

$\displaystyle{\frac{{a - b}}{a} + \frac{{b - c}}{b} + \frac{{c - a}}{c} \leqslant 0 \Leftrightarrow 3 \leqslant \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c},}$ που είναι άμεση συνέπεια της ΑΜ, GM.

Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2005

Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2005

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2005

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2005

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2005

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2005

Μέλη σε σύνδεση