Προκριματικός Διαγωνισμός 1998

#1

: 1998.PNG (79.68 KiB) Προβλήθηκε 1403 φορές

#2

Άσκηση-1

Αν

είναι η ακτίνα του κύκλου, η πλευρά του τετραγώνου θα είναι $a=R\sqrt 2.$

: Προκριματικός 1998.png (15.38 KiB) Προβλήθηκε 1239 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} MC \cdot MD = 2R \cdot ME \hfill \\ MA \cdot MB = 2R \cdot MF \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{{MC \cdot MD}}{{MA \cdot MB}} = \frac{{ME}}{{MF}} = \frac{{MF + R\sqrt 2 }}{{MF}} = 1 + \frac{{R\sqrt 2 }}{{MF}}$

Το κλάσμα $\displaystyle \frac{{R\sqrt 2 }}{{MF}}$ παίρνει τη μικρότερη τιμή όταν μεγιστοποιηθεί το MF,

δηλαδή όταν το

γίνει μέσο του τόξου.

Τότε όμως, $\displaystyle 2MF + R\sqrt 2 = 2R \Leftrightarrow MF = \frac{{R(2 - \sqrt 2 )}}{2} \Rightarrow \frac{{R\sqrt 2 }}{{MF}} = 2 + 2\sqrt 2$

Άρα, $\displaystyle \frac{{MC \cdot MD}}{{MA \cdot MB}} \geqslant 3 + 2\sqrt 2 > 3\sqrt 3$

Προκριματικός Διαγωνισμός 1998

Προκριματικός Διαγωνισμός 1998

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 1998

Μέλη σε σύνδεση