Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

#121

Πριν λίγες μέρες μετά από ενασχόληση κάποιων ωρών προσπαθόντας να την λύσω κατεύνασα την περιέργειά μου
ζητόντας από το ChatGPT να λύσει την άσκηση για να μου φύγει η απορία.

Προφανώς, θα ήταν αντιδεοντολογικό να γράψω μια έτοιμη λύση.
[/quote]

Εύγε που είχες την ακαδημαϊκή εντιμότητα να μην γράψεις την λύση του ChatGpt.

Με τρώει όμως η περιέργεια αν το ChatGpt έγραψε σωστή λύση, εννοώ πέρα από αριθμητικό έλεγχο με πρόγραμμα στον υπολογιστή όλων των περιπώσεων.

Συνήθως σε τέτοια θέματα το ChatGpt λέει ισχυρισμούς που είναι εσφαλμένοι, συχνά οικτρά.

#122

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 09, 2025 12:51 am
Άσκηση 37. Αν μη μηδενικοί ακέραιοι με $|m|\le 100, \, |n| \le 100$ , δείξτε ότι $|m\sqrt 2 +n\sqrt 3 | > \dfrac {1}{320}$

Επαναφορά.

#123

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 09, 2025 12:51 am
Άσκηση 37. Αν μη μηδενικοί ακέραιοι με $|m|\le 100, \, |n| \le 100$ , δείξτε ότι $|m\sqrt 2 +n\sqrt 3 | > \dfrac {1}{320}$

.

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί $m\sqrt 2 \pm n\sqrt 3$ είναι μη μηδενικοί για μη μηδενικούς ακεραίους m,n

(διότι o $\sqrt {\dfrac {2}{3}}$ είναι άρρητος). Άρα $|2m^2-3n^2| = |m\sqrt 2 +n\sqrt 3 ||m\sqrt 2 -n\sqrt 3 |\ne 0$ . Όμως ο

είναι φυσικός αριθμός οπότε (εδώ είναι το κλειδί) $|2m^2-3n^2|\ge 1$ . Συνεπώς

$\displaystyle{ |m\sqrt 2 +n\sqrt 3 |= \dfrac {|2m^2-3n^2|}{|m\sqrt 2 -n\sqrt 3 |}\ge \dfrac {1}{|m\sqrt 2 -n\sqrt 3 |}\ge \dfrac {1}{|m|\sqrt 2 +|n|\sqrt 3 }\ge }$

$\displaystyle{\ge \dfrac {1}{100\sqrt 2 +100\sqrt 3 }> \dfrac {1}{100\cdot 1,42 +100\cdot 1,74 }= \dfrac {1}{316 }> \dfrac {1}{320 }}$

#124

.
Άσκηση 38. Έστω $\sqrt 7 > \dfrac {m}{n}$ όπου $m,\, n$ φυσικοί αριθμοί με $m\ge 1, \, n\ge 1$ . Να αποδείξετε ότι τότε ισχύει $\sqrt 7 > \dfrac {m}{n} + \dfrac {1}{mn}$ .

#125

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 22, 2025 8:12 pm
.
Άσκηση 38. Έστω $\sqrt 7 > \dfrac {m}{n}$ όπου $m,\, n$ φυσικοί αριθμοί με $m\ge 1, \, n\ge 1$ . Να αποδείξετε ότι τότε ισχύει $\sqrt 7 > \dfrac {m}{n} + \dfrac {1}{mn}$ .

Αρχικά, αν m=1

τότε $\dfrac{m}{n}+\dfrac{1}{mn} = \dfrac{2}{n} \leq 2 < \sqrt{7}$ οπότε το ζητούμενο ισχύει.

Για $m\geq 2$ από τη δοσμένη σχέση παίρνουμε ισοδύναμα ότι m^2<7n^2

δηλαδή $m^2\leq 7n^2-1$ Όμως τα τετραγωνικά υπόλοιπα mod 7 είναι τα 0,1,2,4

και έτσι δε μπορεί να ισχύει η ισότητα αλλά ούτε m^2=7n^2-2

. Συνεπώς $m^2\leq 7n^2-3 \ \ (1)$ .

Έτσι $\left(\dfrac{m}{n}+\dfrac{1}{mn}\right)^2 = \dfrac{m^2+2}{n^2}+\dfrac{1}{m^2n^2} \stackrel{(1)}{\leq} \dfrac{7n^2-1}{n^2}+\dfrac{1}{m^2n^2}=7-\left(\dfrac{m^2-1}{m^2n^2}\right) < 7$ για $m\geq 2$ απ' όπου έχουμε το ζητούμενο.

Αλέξανδρος

#126

.
Άσκηση 39. Έστω πραγματικοί αριθμοί με $a\ne 0$ . Ορίζουμε τις συναρτήσεις $f: \mathbb Q \longrightarrow \mathbb R$ και $g:\mathbb R - \mathbb Q \longrightarrow \mathbb R$ με τύπο και (δηλαδή ο ίδιος ακριβώς τύπος). Δείξτε ότι

α) η είναι αν και μόνον αν $\dfrac {b}{a} \notin \mathbb Q$ ,

β) η δεν είναι , ανεξάρτητα από το αν ο $\dfrac {b}{a}$ είναι ρητός ή όχι.

#127

Επαναφορά η Άσκηση 39.

Dimessi · #128

α. Αν η

δεν είναι 1-1 ισοδυναμεί με την ύπραξη ρητών $x\neq y$ ώστε $f\left ( x \right )=f\left ( y \right )$ .
Ισοδύναμα $\left ( x-y \right )\left ( a\left ( x+y \right )+b \right )=0\Longrightarrow -\frac{b}{a}=x+y\in \mathbb{Q}$ .
Αυτό δίνει $\frac{b}{a}\notin \mathbb{\mathbb{Q}}\Longrightarrow f$ 1-1.
$\frac{b}{a}\in \mathbb{Q}\Longrightarrow f\left ( x \right )-f\left ( y \right )=\left ( x-y \right )\left ( a\left ( x+y \right )+b \right )\forall x\neq y\in \mathbb{Q}$
Θέτοντας όπου $x=-\frac{b}{2a}-1\in \mathbb{Q}$ και $y=-\frac{b}{2a}+1\in \mathbb{Q}$ βρήκαμε $x\neq y\in \mathbb{Q}$ ώστε $f\left ( x \right )-f\left ( y \right )=0$ οπότε

δεν είναι 1-1.
Αυτό δίνει

1-1 $\Longrightarrow \frac{b}{a}\notin \mathbb{Q}$
Τελειώσαμε.
β. $g\left ( x \right )-g\left ( y \right )=\left ( x-y \right )\left ( a\left ( x+y \right )+b \right )\forall x\neq y\in \mathbb{R-\mathbb{Q}}$
Αν η

ήταν 1-1 τότε για κάθε ζεύγος διακεκριμένων άρρητων x,y θα ήταν $x+y\neq -\frac{b}{a}$
Αν ο $\frac{b}{a}\notin \mathbb{Q}$ τότε παίρνοντας $x=-\frac{b}{2a}-1\notin \mathbb{Q}$ και $y=-\frac{b}{2a}+1\notin \mathbb{Q}$ καταλήγουμε σε άτοπο.
Αν ο $\frac{b}{a}\in \mathbb{Q}$ με $b\neq 0$ τότε παίρνοντας $x=-\frac{b}{a}\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ και $y=-\frac{b}{a}\left ( 1-\sqrt{2} \right )\notin \mathbb{Q}$ καταλήγουμε πάλι σε άτοπο.
Αν b=0

τότε παίρνοντας $x=-\sqrt{2}$ και $y=\sqrt{2}$ καταλήγουμε πάλι σε άτοπο.
Τελειώσαμε.

#129

.
Άσκηση 40. Να γίνει ρητοποίηση του παρανομαστή του κλάσματος $\displaystyle{\dfrac {1}{1+2\sqrt [3] 2+ \sqrt [3] 4}}$

Σχόλιο: Συχνά βλέπουμε ως άσκηση την ρητοποίηση του παρανομαστή του κλάσματος $\displaystyle{\dfrac {1}{1+\sqrt [3]2+ \sqrt [3] 4}$ . Η παραπάνω γίνεται με διαφορετικό τρόπο, γι' αυτό και την αναρτώ εδώ.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Είναι κατάλληλη για αξιοποίηση στην τάξη μας.

#130

Ανοικτή σε όλους.

Nikitas K. · #131

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 15, 2025 1:54 pm
Άσκηση 40. Να γίνει ρητοποίηση του παρανομαστή του κλάσματος $\displaystyle{\dfrac {1}{1+2\sqrt [3] 2+ \sqrt [3] 4}}$

$\displaystyle {3=\sqrt[3]{2}^3+1^3 = (\sqrt[3]{2}+1)(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}+1}=\dfrac{1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}{3}}$

$\displaystyle {\Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}+1}\right)^2=\left(\dfrac{1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}{3}\right)^2\Leftrightarrow \dfrac{1}{1+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} } = \dfrac{\sqrt[3]{4}-1}{3}}\blacksquare$

Υ.Γ.

ακόμη λύσεις:

1. Παρατηρώντας ότι:
$\displaystyle {(1+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{4}-1)= 3}$ το ζητούμενο έπεται.

2. Άθροισμα Γεωμετρικής Προόδου:
$1+2\sqrt [3] 2+ \sqrt [3]{4} = \displaystyle \sum_{i=0}^{2} \sqrt[3]{4}^i = 1\cdot \dfrac{\sqrt[3]{4}^{2+1}-1}{\sqrt[3]{4}-1}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}-1}$ το ζητούμενο έπεται.

#132

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 15, 2025 1:54 pm
.
Άσκηση 40. Να γίνει ρητοποίηση του παρανομαστή του κλάσματος $\displaystyle{\dfrac {1}{1+2\sqrt [3] 2+ \sqrt [3] 4}}$

Σχόλιο: Συχνά βλέπουμε ως άσκηση την ρητοποίηση του παρανομαστή του κλάσματος $\displaystyle{\dfrac {1}{1+\sqrt [3]2+ \sqrt [3] 4}$ . Η παραπάνω γίνεται με διαφορετικό τρόπο, γι' αυτό και την αναρτώ εδώ.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Είναι κατάλληλη για αξιοποίηση στην τάξη μας.

Εδώ έχω επιλέξει τα νούμερα να είναι απλά, οπότε εύκολα βρίσκουμε την ρητοποίηση.

Θα γράψω μία δεύτερη μέθοδο που δεν έχω δει πουθενά, η οποία είναι αρκετά απλή αλλά εφαρμόζεται σε μία ευρεία γκάμα ρητοποιήσεων με πολύ δυσκολότερα νούμερα. Πιστεύω ότι θα ήταν χρήσιμο να διδάσκεται η μέθοδος, τουλάχιστον ως άσκηση, στα Σχολεία. Θα αρχίσω με την παραπάνω απλή ρητοποίηση, αλλά παρακάτω θα βάλω ως άσκηση πιο δύσκολα νούμερα.

Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή και παρονομαστή επί $a+b\sqrt [3] 2+ c\sqrt [3] 4$ , όπου τα a,b,c

θα τα επιλέξουμε μετά. Έτσι

$\displaystyle{\dfrac {1}{1+\sqrt [3]2+ \sqrt [3] 4}= \dfrac {a+b\sqrt [3] 2+ c\sqrt [3] 4}{(1+\sqrt [3]2+ \sqrt [3] 4)(a+b\sqrt [3] 2+ c\sqrt [3] 4)}=$

$= \dfrac {a+b\sqrt [3] 2+ c\sqrt [3] 4}{(a+2b+4c)+(2a+b+2c)\sqrt [3]2+(a+2b+c) \sqrt [3] 4}$ (*)

Επιλέγουμε τώρα τα a,b,c

στον παρονομαστή έτσι ώστε οι συντελεστές των $\sqrt [3]2, \, \sqrt [3]4$ να είναι

, εδώ

$2a+b+2c=0, \, a+2b+c=0$ .

Δηλαδή λύνουμε το σύστημα ως προς μία παράμετρο. Οποιαδήποτε λύση μας κάνει, γιατί οδηγεί στο ίδιο τελικό αποτέλεσμα. Για παράδειγμα μπορούμε να πάρουμε a=-1, b=0, c=1

. Έχουμε τότε στην (*)

$\displaystyle{\dfrac {1}{1+\sqrt [3]2+ \sqrt [3] 4}= \dfrac {-1+0\sqrt [3] 2+ 1\sqrt [3] 4}{(-1+0+4)+0\sqrt [3]2+0\sqrt [3] 4}= \dfrac {-1+\sqrt [3] 4}{3}$

#133

.
Άσκηση 41. Με την μέθοδο που περιγράφεται στο προηγούμενο ποστ να γίνει ρητοποίηση του παρανομαστή του κλάσματος $\displaystyle{\dfrac {1}{1+3\sqrt [3] 2+ 7\sqrt [3] 4}}$

Nikitas K. · #134

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 22, 2025 12:00 am
.
Άσκηση 41. Με την μέθοδο που περιγράφεται στο προηγούμενο ποστ να γίνει ρητοποίηση του παρανομαστή του κλάσματος $\displaystyle{\dfrac {1}{1+3\sqrt [3] 2+ 7\sqrt [3] 4}}$

Είμαι ευγνώμων, χαρούμενος και πολλά πράγματα που δεν μπορώ να σκεφτώ τώρα λόγω

Από το

έχω μάθει πολλά ή τουλάχιστον έχω δει πολλά... ώστε να έχω μια ιδέα σχετικά με το πως αντιμετωπίζετε όλοι εσείς οι μαθηματικοί με την πείρα που έχετε τα θέματα και τα προβλήματα των μαθηματικών.

Μέθοδος:

$\displaystyle {(1+3\sqrt[3]{2} + 7\sqrt[3]{4})(a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}) = (a + 14b + 6c)+(3a + b + 14c)\sqrt[3]{2} + (7a + 3b + c) \sqrt[3]{4}}$

Διαλέγοντας $a = -41,\, b = 95$ και c = 2

οι συντελεστές των $\sqrt[3]{2}$ και $\sqrt[3]{4}$ μηδενίζονται.

Άρα $\displaystyle { \dfrac{1}{1+3\sqrt[3]{2} + 7\sqrt[3]{4}} = \dfrac{-41 + 95 \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4} }{1301} }$

Ευχαριστώ τον κ. Μιχάλη Λ. για τα σχόλια, τις διορθώσεις, τις υποδείξεις και τη μεταλαμπάδευση της παραπάνω μεθόδου.

Αλλαγές που πραγματοποιήθηκαν κατά την:

Επεξεργασία στις 24/7/2025 12:13 πμ:
1. Διαγράφθηκαν οι ενδιάμεσες πράξεις στην βασική ταυτότητα.
2. Διορθώθηκαν λογιστικά σφάλματα.
3. Αντικαταστάθηκε η επίλυση του συστήματος $2\times2$ που μηδενίζει τους συντελεστές των $\sqrt[3]{2}$ και $\sqrt[3]{4}$ με την λύση αυτού.
4. Προστέθηκε λύση με απλούστερους συντελεστές σε σχέση με την προηγούμενη λύση.
5. Αποκρύφθηκε η λύση με τους πολύπλοκους συντελεστές.

Κατά την τελευταία επεξεργασία:
1. Διαγράφθηκε το περιεχόμενο της απόκρυψης, αλλά και η ίδια.
2. Επιλέχθηκαν απλούστερα νούμερα για το μηδενισμό των συντελεστών των $\sqrt[3]{2}$ και $\sqrt[3]{4}$ .
3. Προστέθηκε ευχαριστήριο μήνυμα.

#135

Χαιρόμαστε που απολαμβάνεις και μαθαίνεις από το mathematica.

Με την ευκαιρία θα σου συνιστούσα να βελτιώσεις το στυλ της γραφής σου γιατί συχνά πλατειάζεις σε υπερθετικό βαθμό. Για παράδειγμα

Nikitas K. έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 23, 2025 2:07 am

Μετά $3a + 3b = -98\quad \color{blue}(0)$ και $7a + 9b = -28\quad \color{blue}(1)$ πολλαπλασιάζω κάθε μέλος της σχέσης $\color{blue}(0)$ με τον αριθμό οπότε λαμβάνω $9a+9b = -294 \quad \color{blue}(2)$ με αφαίρεση κατά μέλη των σχέσεων $\color{blue} (2)$ και $\color{blue}(1)$ παίρνω
άρα επομένως

Ξεκινάς με ένα απλούστατο $2\times 2$ γραμμικό σύστημα. ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ να μας πεις με τι θα πολλαπλασιάσεις την κάθε εξίσωση και τι προσθαφαιρέσεις θα κάνεις. Είναι πασίγνωστη μέθοδος και τετριμμένη. Θα μπορούσες εδώ να έγραφες απευθείας την λύση $a = - 133, \, b= \dfrac {301}{3}$ (υπόψη, αλλά ας το παραβλέψουμε, ότι η λύση που γράφεις έχει λογιστικό σφάλμα). Το να γράφεις "άπειρα¨ τετριμμένα βήματα, απλά συσκοτίζουν τις ιδέες της λύσης. Κρύβεται η ουσία. Στα Μαθηματικά πρέπει να ξέρουμε να ξεχωρίζουμε την ήρα από το στάρι.

Επίσης συχνά κάνεις τα εύκολα, δύσκολα. Για παράδειγμα

Nikitas K. έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 23, 2025 2:07 am

Μέθοδος:

$\displaystyle {(1+3\sqrt[3]{2} + 7\sqrt[3]{4})(a+{\color {red} 3b}\sqrt[3]{2}+{\color {red} 7c}\sqrt[3]{4}) = ...$

Δεν υπάρχει ΚΑΝΕΝΑΣ, ΜΑ ΚΑΝΕΝΑΣ, λόγος να πάρεις τους συντελεστές ως

και

. Δεν προκύπτει από πουθενά. Μπορείς απλούστερα να τους πάρεις ως $b,\,c$ για να γλιτώσεις να μεγάλα νούμερα.

Θα περιμένουμε να κάνεις έλεγχο των πράξεων (ναι, στην βασική ταυτότητα υπάρχει ένα λογιστικό σφάλμα: Κάποιο $7c\sqrt[3]{4}$ πρέπει να γίνει 42c

) και να χτενίσεις την παρουσίαση στα απαιραίτητα.

#136

Προς Νικήτα: Ωραιότατα, μετά τις διορθώσεις. Αυτή την λύση (ακριβέστερα, κατά τι ευκολότερη) έχω κατά νου.

Όμως έχω να σχολιάσω τα εξής:

α) Όταν κάνεις διόρθωση σε μία παλαιότερη μορφή ενός ποστ, ιδίως αν έχει προκαλέσει απάντηση, πρέπει να τα δηλώνεις ρητά και να σημειώνεις τις αλλαγές. Αλλιώς ο αναγνώστης που δεν ακολούθησε ακριβώς τις χρονικές στιγμές που έγιναν οι απαντήσεις και οι διορθώσεις, χάνει τον μπούσουλα. Δεν βγάζει άκρη.

Πόσο μάλλον

β) όταν χρησιμοποιείς τα a,b,c

με δύο διαφορετικές έννοιες, την παλιά μορφή και την νέα, λίγες γραμμές την μία κάτω από την άλλη. Αν δεν ήξερα εκ των προταίρων την λύση, ΔΕΝ ΘΑ ΕΒΓΑΖΑ ΑΚΡΗ με την λύση σου.

Σου συνιστώ ισχυρά να πας πίσω στην λύση σου, και να σβήσεις όλα τα περιττά, δηλαδή οτιδήποτε αναφέρεται στα παλιά a,b,c

. Με άλλα λόγια, να μείνει μόνο η νέα και σωστή λύση.

#137

.
Άσκηση 42. Έστω $n\ge 2$ φυσικός αριθμός. Δείξτε ότι για κάθε άρρητο αριθμό , o αριθμός

$\sqrt [n] {a+ \sqrt {a^2-1}} + \sqrt [n] {a- \sqrt {a^2-1}}$

είναι άρρητος.

Dimessi · #138

Θέτουμε $x=\sqrt[n]{a+\sqrt{a^{2}-1}}$
τότε η παράσταση είναι $x+\frac{1}{x}$
και από ΑΜ-ΓΜ έχουμε $x+\frac{1}{x}\geq 2$
εδώ η ισότητα δεν πιάνεται γιατί τότε θα ήταν $a+\sqrt{a^2-1}=a-\sqrt{a^2-1}$ οπότε a^2=1

που δεν γίνεται με άρρητο

.
Υποθέτοντας ότι η παράσταση είναι ρητός

τότε
$x^{2}-xt+1=0$
οπότε η μεγαλύτερη ρίζα του τριωνύμου ως προς

είναι (υπόψη $\Delta \geq 0$ )
$\displaytyle x=\frac{t+\sqrt{t^{2}-4}}{2}$
οπότε
$\displaystyle ( \frac{t+\sqrt{t^{2}-4}}{2} )^{n}=a+\sqrt{a^{2}-1}\Longleftrightarrow a^{2}-1=((\frac{t+\sqrt{t^{2}-4}}{2})^{n}-a)^{2}$
$\Longleftrightarrow 2a(\frac{t+\sqrt{t^{2}-4}}{2})^{n}=(\frac{t+\sqrt{t^{2}-4}}{2})^{2n}+1\Longleftrightarrow 2a=(\frac{t+\sqrt{t^{2}-4}}{2})^{n}+(\frac{t-\sqrt{t^{2}-4}}{2})^{n} (\ast )$
Από το ανάπτυγμα
$\displaystyle \left ( x+y \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}y^{n-k}$
έχουμε
$\displaystyle ( t+\sqrt{t^{2}-4} )^{n}+(t-\sqrt{t^{2}-4})^{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}t^{k}(\sqrt{t^{2}-4})^{n-k}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}t^{k}(-\sqrt{t^{2}-4})^{n-k}(\ast \ast)$
Παίρνουμε δύο περιπτώσεις.
Για τα

με

περιττό είναι $\displaystyle \binom{n}{k}t^{k}(\sqrt{t^{2}-4})^{n-k}+\binom{n}{k}t^{k}(-\sqrt{t^{2}-4})^{n-k}=0$
Για τα

με

άρτιο είναι $\displaystyle \binom{n}{k}t^{k}(\sqrt{t^{2}-4})^{n-k}+\binom{n}{k}t^{k}(-\sqrt{t^{2}-4})^{n-k}=\binom{n}{k}t^{k}(t^{2}-4)^{m}+\binom{n}{k}t^{k}(t^{2}-4)^{m}\overset{t\in \mathbb{Q}}\in \mathbb{Q}$
Κτυπώντας με $(\ast \ast )$ έχουμε
$(t+\sqrt{t^{2}-4})^{n}+(t-\sqrt{t^{2}-4})^{n}\in \mathbb{Q}$
Ξανακτυπώντας με $(\ast )$ έχουμε ότι και ο

είναι ρητός που δεν γίνεται.
Τελειώσαμε.

#139

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 01, 2025 6:29 pm
.
Άσκηση 42. Έστω $n\ge 2$ φυσικός αριθμός. Δείξτε ότι για κάθε άρρητο αριθμό , o αριθμός

$\sqrt [n] {a+ \sqrt {a^2-1}} + \sqrt [n] {a- \sqrt {a^2-1}}$

είναι άρρητος.

.
Ας δούμε μια λίγο πιο απλή λύση. Γράφουμε $b= \sqrt [n] {a+ \sqrt {a^2-1}}$ , oπότε αφού $\sqrt [n] {a+ \sqrt {a^2-1}} \sqrt [n] {a- \sqrt {a^2-1}} =1$ , είναι $\sqrt [n] {a- \sqrt {a^2-1}}= \dfrac {1}{b}$ . Δηλαδή η παράστασή μας είναι η $b+\dfrac {1}{b}$ .

Έστω τώρα ότι για κάποιον άρρητο

, ο $b+\dfrac {1}{b}$ ήταν ρητός. Από γνωστή άσκηση (την έχουμε στο φόρουμ αλλά θα δώσω τα κύρια βήματα) αποδεικνύεται ότι για κάθε $m\in \mathbb N$ θα είναι ρητός και ο $b^m+\dfrac {1}{b^m}$ . Πράγματι, για m=2

είναι $b^2+\dfrac {1}{b^2} = \left (b+\dfrac {1}{b} \right ) ^2-2=$ ρητός. Επίσης, με ισχυρή επαγωγή το επαγωγικό βήμα έπεται από την

$b^{m+1}+\dfrac {1}{b^{m+1} }= \left (b^m+\dfrac {1}{b^m} \right ) \left (b+\dfrac {1}{b} \right )- \left (b^{m-1}+\dfrac {1}{b^{m-1}} \right ) =$ ρητός.

Σύμφωνα με αυτό θα είναι ρητός και ο $b^{n}+\dfrac {1}{b^{n}}= (a+\sqrt {a^2-1})+ (a- \sqrt {a^2-1})=2a$ . 'Ατοπο αφού

άρρητος, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#140

.
Άσκηση 43. Δείξτε ότι δεν υπάρχουν ρητοί , με $r \ge 0$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\sqrt [3] 4 = p+q\sqrt r}$

Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση