Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Dimessi · #141

$\displaystyle 4=p^{3}+q^{3}r\sqrt{r}+3p^{2}q\sqrt{r}+3pq^{2}r\Rightarrow \sqrt{r}=\frac{4-p^{3}-3pq^{2}r}{q^{3}r+3p^{2}q}\in \mathbb{Q}\left ( \ast \right ).$
$(\ast):\sqrt[3]{4}=p+q\sqrt{r}\overset{p,q,\sqrt{r}\in \mathbb{Q}}\in \mathbb{Q},$ άτοπο

#142

Dimessi έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 26, 2025 4:48 pm
$\displaystyle 4=p^{3}+q^{3}r\sqrt{r}+3p^{2}q\sqrt{r}+3pq^{2}r\Rightarrow \sqrt{r}=\frac{4-p^{3}-3pq^{2}r}{q^{3}r+3p^{2}q}\in \mathbb{Q}\left ( \ast \right ).$
$(\ast):\sqrt[3]{4}=p+q\sqrt{r}\overset{p,q,\sqrt{r}\in \mathbb{Q}}\in \mathbb{Q},$ άτοπο

Δημήτρη, η λύση χρειάζεται ακόμη διευθέτηση διότι ο παρονομαστής μπορεί να είναι

, πράγμα που πρέπει να αποκλειστεί.

Dimessi · #143

Αυτά είναι προφανή. Για r=0

πάλι καταλήγει $\sqrt[3]{4}=p+q\cdot 0\in \mathbb{Q}.$ Ο παρονομαστής για να μηδενίζει με r>0,

πρέπει αναγκαστικά q=0

ή

που και πάλι δίνει q=0.

Τότε και πάλι $\sqrt[3]{4}=p+0\cdot \sqrt{r}\in \mathbb{Q}.$
Edit: σβήστηκε σχόλιο που ξεφεύγει από το μαθηματικό πλαίσιο.

#144

Dimessi έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 26, 2025 5:30 pm
Αυτά είναι προφανή. Για πάλι καταλήγει $\sqrt[3]{4}=p+q\cdot 0\in \mathbb{Q}.$ Ο παρονομαστής για να μηδενίζει με πρέπει αναγκαστικά ή που και πάλι δίνει Τότε και πάλι $\sqrt[3]{4}=p+0\cdot \sqrt{r}\in \mathbb{Q}.$

Δημήτρη, ευχαριστούμε θερμά.

.

#145

.
Άσκηση 44. Δείξτε ότι για κάθε $n\in \mathbb N$ οι αριθμοί

$\displaystyle{a_n = \dfrac {1}{2} \left ( ( 3+2\sqrt 2 )^n + ( 3-2\sqrt 2 )^n \right )}$ και $\displaystyle{b_n = \dfrac {1}{2\sqrt 2} \left ( ( 3+2\sqrt 2 )^n -( 3-2\sqrt 2 )^n \right )}$

είναι φυσικοί, και ικανοποιούν την εξίσωση .

Dimessi · #146

Για

είναι προφανές. Αν για όλους τους φυσικούς $1\leq k\leq n,$ ο $a_{k}$ είναι φυσικός, τότε $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left ( 3+2\sqrt{2} \right )^{k}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left ( 3-2\sqrt{2} \right )^{k}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\left ( 3+2\sqrt{2} \right )^{n+1}-(3+2\sqrt {2})}{3+2\sqrt{2}-1}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\left ( 3-2\sqrt{2} \right )^{n+1}-(3-2\sqrt {2}}{3-2\sqrt{2}-1}.$
Τω λοιπόν
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\left ( 3+2\sqrt{2} \right )^{n}-\left ( 3+2\sqrt{2} \right )^{n+1}-1+3+2\sqrt{2}+\left ( 3-2\sqrt{2} \right )^{n}-\left ( 3-2\sqrt{2} \right )^{n+1}-1+3-2\sqrt{2}}{-4}=$
$\displaystyle =\frac{1}{4}\left ( a_{n+1}-a_{n} \right )-\frac{1}{2}\Rightarrow 4\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{n+1}-a_{n}-2\left ( \ast \right ).$ Από την επαγωγική υπόθεση, $a_{k}\in \mathbb{N},$ για κάθε $1\leq k\leq n,$ άρα από την $\left (\ast \right)$ παίρνουμε $a_{n+1}\in \mathbb{N},$ που ολοκληρώνει το επαγωγικό βήμα. $\blacksquare$

Με ακριβώς όμοιο τρόπο, $b_{n} \in \mathbb{N},$ για κάθε $n\in \mathbb{N}.$

Τώρα, για κάθε $n\in \mathbb{N}:$

$\displaystyle a_{n}^{2}-2b_{n}^{2}=\frac{1}{4}\left ( 2\left ( 3+2\sqrt{2} \right )^{n}\cdot 2\left ( 3-2\sqrt{2} \right )^{n} \right )=1.$

#147

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 12, 2025 11:33 am
.
Άσκηση 44. Δείξτε ότι για κάθε $n\in \mathbb N$ οι αριθμοί

$\displaystyle{a_n = \dfrac {1}{2} \left ( ( 3+2\sqrt 2 )^n + ( 3-2\sqrt 2 )^n \right )}$ και $\displaystyle{b_n = \dfrac {1}{2\sqrt 2} \left ( ( 3+2\sqrt 2 )^n -( 3-2\sqrt 2 )^n \right )}$

είναι φυσικοί, και ικανοποιούν την εξίσωση .

.
Ωραιότατη η λύση του Δημήτρη στο προηγούμενο ποστ. Είχα στο μυαλό μου δύο διαφορετικές, τις οποίες καταγράφω (τα κύρια βήματα):

Α' ΤΡΟΠΟΣ. Από το ανάπτυγμα του διωνύμου των δύο προσθετέων του a_n

(και ανάλογα για το b_n

) ο όρος αυτός αποτελείται από αθροίσματα της μορφής $\displaystyle{\binom{n}{k}\dfrac { 3^{n-k} (2\sqrt 2)^k+3^{n-k} (-2\sqrt 2)^k }{2}}$ .

Τώρα, για

άρτιο η τετραγωνική ρίζα στα $(2\sqrt 2)^k, \, (-2\sqrt 2)^k$ εξαφανίζεται. Αυτό που απομένει έιναι προφανώς ακέραιος. Επίσης, για

περιττός, τα $(2\sqrt 2)^k, \, (-2\sqrt 2)^k$ είναι αντίθετοι αριθμοί, οπότε απλοποιούνται. Και στις δύο περιπτώσεις το a_n

είναι άθροισμα φυσικών αριθμών, και άρα είναι φυσικός. Αυτό είναι το αποδεικτέο.

Β' ΤΡΟΠΟΣ. Τα $s= 3+2\sqrt 2 , t= 3-2\sqrt 2$ ικανοποιούν s+t=6, st=1

, οπότε είναι ρίζες της x^2-6x+1=0

. Δηλαδή ικανοποιούν s^2=6s-1, t^2=6t-1

, και άρα $s^{N+2}=6s^{N+1}-s^N, t^{N+2}=6t^{N+1}-t^N$ για $N\in \mathbb N$ .

Αλλά $a_n= \dfrac {1}{2}( s^n+t^n)$ , οπότε με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε $\boxed {a_{n}= 6a_{n-1}- a_{n-2}}$ .

Δεδομένου ότι a_0= 1, a_1=3

, έπεται επαγωγικά ότι όλα τα a_n

είναι φυσικοί αριθμοί, όπως θέλαμε. Όμοια τα b_n

.

Για την x^2-2y^2=1

, δηλαδή

, υπάρχουν διάφοροι τρόποι. Ένας είναι από το γεγονός ότι τα a_0=1, b_0=0

και

την ικανοποιούν, και μετά επαγωγικά από τα παραπάνω.

#148

.
Άσκηση 45. Να γίνει ρητοποίηση των παρανομαστών στα

α) $\displaystyle{\dfrac {1}{ \sqrt {2\sqrt 3 +\sqrt 2}}}$ και β) $\displaystyle{\dfrac {1}{ \sqrt [3] {10+ \sqrt 3}}$

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Είναι κατάλληλη για αξιοποίηση στην τάξη μας.

#149

.
Ανοικτή σε όλους.

Nikitas K. · #150

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 27, 2025 11:29 am
.
Άσκηση 45. Να γίνει ρητοποίηση των παρανομαστών στα

α) $\displaystyle{\dfrac {1}{ \sqrt {2\sqrt 3 +\sqrt 2}}}$ και β) $\displaystyle{\dfrac {1}{ \sqrt [3] {10+ \sqrt 3}}$

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Είναι κατάλληλη για αξιοποίηση στην τάξη μας.

Για το α) ισχύει ότι:

$\displaystyle {\dfrac {1}{2\sqrt 3 +\sqrt 2} = \dfrac{2\sqrt 3 - \sqrt 2}{(2\sqrt 3)^2 - (\sqrt 2)^2} = \dfrac{2\sqrt 3 - \sqrt 2}{10} ~~\color{blue} *}$

Άρα:
$\displaystyle { \dfrac {1}{\sqrt{2\sqrt 3 +\sqrt 2}} = \sqrt {\dfrac {1}{2\sqrt 3 +\sqrt 2}} \overset{{\color{blue} *}}{=} \sqrt{\dfrac{2\sqrt 3 - \sqrt 2}{10}} = \dfrac{ \sqrt{2\sqrt 3 - \sqrt 2} } { \sqrt{10} } = \dfrac{ \sqrt{10}\sqrt{2\sqrt 3 - \sqrt 2} } { 10 } }$

Ομοίως για το β)
$\displaystyle { \dfrac {1}{10+ \sqrt 3} = \dfrac{10-\sqrt{3}}{97} ~~\color{blue} ** }$

Άρα:
$\displaystyle { \dfrac {1}{ \sqrt [3] {10+ \sqrt 3} } = \sqrt[3]{\dfrac{1}{10+ \sqrt 3}} \overset{{\color{blue} **}}{=} \sqrt[3]{\dfrac{10-\sqrt{3}}{97}} = \dfrac{ \sqrt[3]{97^2}\sqrt[3]{10-\sqrt{3}} }{97} }$

Η παγίδα στο β) ερώτημα, ουσιαστικά είναι ότι στον παρονομαστή έχουμε $\sqrt[3]{97}$ επομένως για να φύγει η

η ρίζα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον παρονομαστή με το $\sqrt[3]{97^2}$

#151

Nikitas K. έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 30, 2025 1:48 pm

Άρα:
$\displaystyle { \dfrac {1}{ \sqrt [3] {10+ \sqrt 3} } = \sqrt[3]{\dfrac{1}{10+ \sqrt 3}} \overset{{\color{blue} **}}{=} \sqrt[3]{\dfrac{10-\sqrt{3}}{97}} = \dfrac{ \sqrt[3]{97^2}\sqrt[3]{10-\sqrt{3}} }{97} }$

Σωστό.

Όμως είχα τυπογραφικό σφάλμα στον παρονομαστή οπότε ο αριθμητής στην ρητοποίηση βγήκε αρκετά πολύπλοκος. Στο σωστό, που παραθέτω αμέσως από κάτω, ο αριθμητής βγαίνει πολύ απλούστερος.

Άσκηση 45β. Να γίνει ρητοποίηση του κλάσματος $\displaystyle{\dfrac {1}{ \sqrt [3] {10+6 \sqrt 3} } }$ .

Θέλουμε απλό αριθμητή.

Nikitas K. · #152

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 30, 2025 9:19 pm
Άσκηση 45β. Να γίνει ρητοποίηση του κλάσματος $\displaystyle{\dfrac {1}{ \sqrt [3] {10+6 \sqrt 3} } }$ .

Θέλουμε απλό αριθμητή.

Βήμα

: $\displaystyle { \dfrac{1}{3\sqrt{3} + 5} = \dfrac{3\sqrt{3} - 5}{(3\sqrt{3})^2 - 5^2} = \dfrac{3\sqrt{3} - 5}{2} ~~ \color{blue} * }$

Βήμα

: $\displaystyle { \dfrac{1}{10+6\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3\sqrt{3} + 5} \overset{{\color{blue} *}}{=} \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3\sqrt{3} - 5}{2} = \dfrac{3\sqrt{3} - 5}{4} ~~ \color{blue} ** }$

Βήμα

: $\displaystyle { \dfrac{1}{\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}} = \sqrt[3]{\dfrac{1}{10+6\sqrt{3}}} \overset{{\color{blue} **}}{=} \sqrt[3]{ \dfrac{3\sqrt{3} - 5}{4} } = \dfrac{ \sqrt[3] { 6\sqrt{3} - 10 } } { 2 } }$

Εκ των υστέρων:

$\displaystyle {6\sqrt{3} - 10 = \sqrt{3}^3 - 10 + 3\sqrt{3} = \sqrt{3}^3 - 10 + 3\sqrt{3}\cdot 1^2 = \sqrt{3}^3 - 9 + 3\sqrt{3} \cdot 1^2 - 1^3 }$

$\displaystyle {= \sqrt{3}^3 - 3\sqrt{3}^2\cdot 1 + 3\sqrt{3} \cdot 1^2 - 1^3 = (\sqrt{3} - 1)^3 ~~\color{blue} {***}}$

Αντικαθιστώντας στο Βήμα

την σχέση $\color{blue} {***}$

$\displaystyle {\dfrac{1}{\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}}$

#153

Nikitas K. έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 30, 2025 11:03 pm

$= \dfrac{ \sqrt[3] { 6\sqrt{3} - 10 } } { 2 } }$

Ο αριθμητής αυτός είναι δύσκολος. Η άσκηση ζητά με σαφήνεια να είναι απλός.

Οπότε θεωρώ την άσκηση ακόμα ανοικτή.

#154

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 30, 2025 11:41 pm

Nikitas K. έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 30, 2025 11:03 pm

$= \dfrac{ \sqrt[3] { 6\sqrt{3} - 10 } } { 2 } }$
Ο αριθμητής αυτός είναι δύσκολος. Η άσκηση ζητά με σαφήνεια να είναι απλός.

Οπότε θεωρώ την άσκηση ακόμα ανοικτή.

Βλέπω ότι ο Νικήτας απάντησε στην νέα μορφή της άσκησης, συμπλhρώνοντας την αρχική του απάντηση. Όλα καλά.

Πιο απλά, από την

$(1+\sqrt 3)^3=10+6\sqrt 3$ έχουμε

$\displaystyle{ \dfrac {1}{\sqrt [3]{10+6\sqrt 3}}= \dfrac {1}{\sqrt 3+1}= \dfrac {\sqrt3 -1 }{(\sqrt 3+1)(\sqrt 3-1)}= \dfrac {\sqrt3 -1 }{2}}$

#155

.
Άσκηση 46 Έστω $A= \{ a+b\sqrt 2+ c\sqrt 3+ d\sqrt 5 \, : \, a,b,c,d \in \mathbb Z \}$ , και $B= \{ a+b\sqrt 2+ c\sqrt 3+ d\sqrt 7 \, : \, a,b,c,d \in \mathbb Z \}$ .

Ορίζουμε συναρτήσεις $f: A \longrightarrow \mathbb Z$ και $g: B \longrightarrow \mathbb Z$ ως

$f(a+b\sqrt 2+ c\sqrt 3+ d\sqrt 5 )= (|a|+1)(|c|+1)$ και $g(a+b\sqrt 2+ c\sqrt 3+ d\sqrt 7 )= (|b|+1)(|c|+1)$

Δείξτε ότι οι είναι περιοδικές με περιόδους τις μορφής $m\sqrt 2+n\sqrt 5$ και $p+q\sqrt 7$ , αντίστοιχα, όπου $m,n,p,q\in \mathbb Z$ , και μόνον αυτές.

Επίσης δείξτε ότι το γινόμενο ορισμένο στο σύνολο

$C= A \cap B = \{ a+b\sqrt 2+ c\sqrt 3 : \, a,b,c \in \mathbb Z \}$

είναι περιοδική με περίοδο $\sqrt 3$ .

Σχόλιο: Την άσκηση μου την έδωσαν προς λύση στο Μαυροβούνιο την περασμένη εβδομάδα, αλλά χωρίς να δίνουν τις περιόδους.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Είναι κατάλληλη για αξιοποίηση στην τάξη μας.

#156

Ανοικτή σε όλους.

Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση