Προκριματικός Διαγωνισμός 2002

#1

: 2002.PNG (79.87 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Aς δούμε την άσκηση 2...

Μία προφανής τιμή για το

είναι το

Αυτό συμβαίνει όταν x=-y.

H παρακάτω διαπραγμάτευση γίνεται με τη συνθήκη ότι $a\neq 0.$

$x+y=a\Rightarrow \left( x+y \right)^{3}=a^{3}\Rightarrow x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}=a^{3}\Rightarrow$

$x^{3}+y^{3}+3xy\left( x+y \right)=a^{3}\Rightarrow a+3xya=a^{3}\Rightarrow a\left( 1+3xy \right)=a^{3}\Rightarrow$

$\displaystyle 1+3xy =a^{2}\Rightarrow xy=\frac{a^{2}-1}{3}$

Eπίσης ισχύει ότι

$x+y=a\Rightarrow \left( x+y \right)^{5}=a^{5}\Rightarrow x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}=a^{5}\Rightarrow$

$x^{5}+y^{5}+5xy\left( x^{3}+y^{3} \right)+10x^{2}y^{2}\left( x+y \right)=a^{5}\Rightarrow$

$a+5xya+10x^{2}y^{2}a=a^{5}\Rightarrow a\left( 1+5xy+10x^{2}y^{2} \right)=a^{5}\Rightarrow$

$1+5xy+10\left( xy \right)^{2} =a^{4}$

H τελευταία ισότητα μπορεί να γραφεί

$\displaystyle1+5\frac{a^{2}-1}{3}+10\left( \frac{a^{2}-1}{3} \right)^{2}=a^{4}$

που μετά από πράξεις οδηγεί στη διτετράγωνη εξίσωση

a^4-5a^2+4=0

της οποίας οι πραγματικές ρίζες είναι το 1,-1,2,-2.

Προκριματικός Διαγωνισμός 2002

Προκριματικός Διαγωνισμός 2002

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2002

Μέλη σε σύνδεση