ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ)

[Fotis34]

Καλησπέρα, μπορούμε να δημοσιεύσουμε τα σημερινά θέματα;

[Hristaras]

Πώς τα πήγατε? Εγώ έλυσα το 1 και το 4 θέμα (ελπίζω ότι τα έλυσα σωστά)

[Fotis34]

Πώς τα πήγατε? Εγώ έλυσα το 1 και το 4 θέμα (ελπίζω ότι τα έλυσα σωστά)

Σε ποια τάξη;

[Fotis34]

Ξέρει κάποιο μέλος της επιτροπής, για τα θέματα του Γυμνασίου, στο πρόβλημα 1 , πόσες μονάδες δίνει το (α) και (β) ερώτημα;

[Hristaras]

Είμαι στο γυμνάσιο

[Hristaras]

Υποθέτω στο πρώτο θέμα είναι μισές μισές

[Fotis34]

Υποθέτω στο πρώτο θέμα είναι μισές μισές

Πόσο βρήκες στο πρόβλημα 1 και στο 4;

[Hristaras]

Στο πρόβλημα 4 βριξα ότι υπάρχουν 264 διαφορετικοί τρόποι για τον χρωματισμό. Στο πρώτο βριξα ότι η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις για κάθε α εκτός του 4/3 και στο δεύτερο υποερωτιμα βριξα ότι το α είναι 7/5 ή 5/4

[Fotis34]

Σίγουρα, 264 ;

[Hristaras]

Ναι είμαι αρκετά σίγουρος. Όμως πάντα υπάρχει περιθώριο λάθους. Εσύ τι βρικες

[GeorgeMarag1]

Καλησπέρα, μπορούμε να δημοσιεύσουμε τα σημερινά θέματα;

[Σωτ.Μαζ]

Εγώ βρήκα αν δεν κάνω λαθος 216; Το θέμα της γεωμετρίας δεν το έπιασα καν

[Fotis34]

Εγώ βρήκα αν δεν κάνω λαθος 216; Το θέμα της γεωμετρίας δεν το έπιασα καν

Ποια θέματα έλυσες;

[Fotis34]

Ναι είμαι αρκετά σίγουρος. Όμως πάντα υπάρχει περιθώριο λάθους. Εσύ τι βρικες

Εγώ έλυσα το θέμα 3. Το θέμα 1 το (α). Στο θέμα της γεωμετρίας έγραψα πως πρέπει να ναι εγγράψιμο και έγραψα τα κριτήρια εγγραψιμότητας και λίγα ακόμη. Στο θέμα 4 έκανα μερικές παρατηρήσεις μόνο.

[Σωτ.Μαζ]

Μπράβο σου! Στο πρώτο θέμα μετά από λάθος πράξεις κατέληξα σε άσχετο αποτέλεσμα.
Το δεύτερο δεν το έπιασα καθόλου
Στο τρίτο έως ενός σημείου ότι δηλαδή 420=(y-x)(y+x) και κάπου εκεί σήκωσα τα χέρια ψηλά.
Στο τελευταίο σπατάλησα πολύτιμο χρόνο κάνοντας δοκιμές για να βρω το αποτέλεσμα διότι δεν έχω εμβαθύνει σε συνδυασμό κλπ αριθμών.
Έκανα τη ζωή των βαθμολογητών ευκολότερη χαχα δεν θα έχουν δύσκολο έργο κοιτώντας το γραπτό μου.
Εύχομαι καλά αποτελέσματα σε όλους μιας και νιώθω αληθινά κερδισμένος που έφτασα έως εδώ με γνώσεις του δημόσιου σχολείου που φοιτώ, β γυμνασίου.
Φιλικά Γιώργος

[cretanman]

Για το πρώτο των μεγάλων:

Το συμμετρικό του Η ως προς τη ΒΓ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο άρα το Δ είναι το συμμετρικό του Η ως προς τη ΒΓ. Όμως το είναι το συμμετρικό του Ο ως προς τη ΒΓ άρα το είναι συμμετρικό του OH ως προς τη ΒΓ άρα τέμνονται επί της ΒΓ, έστω στο σημείο S.

Όμως από την εκφώνηση το Ε ανήκει στο άρα ταυτίζεται με την ευθεία ΔΕ, άρα τα ΟΗ, ΒΓ, ΔΕ διέρχονται από το S.

Αν P είναι το δεύτερο σημείο τομής της Η με τον κύκλο (ΟΒΓ) τότε θα δείξουμε ότι ανήκει και στον κύκλο (ΟΔΕ).

Όμως από τον κύκλο (ΟΒΓ): και από τον κύκλο (ΑΒΓ): .

Αρα παίρνουμε κι έτσι τα Ο,Ρ,Δ,Ε ανήκουν στον ίδιο κύκλο που είναι αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε.

Αλέξανδρος

[Fotis34]

Έχει κάποιος λύση στην γεωμετρία των μικρών;

[cretanman]

Για το δεύτερο των μεγάλων:

Αν τότε η παράσταση είναι ίση με άρα τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Παρακάτω θεωρούμε ότι .
Παίρνοντας mod 3, το πρέπει να είναι περιττός.

Επίσης η παράσταση γράφεται .

Όμως ο είναι άρτιος ενώ απ' όπου προκύπτει ότι ο έχει στην ανάλυσή του σε πρώτους παράγοντες μόνο ένα 2-άρι (συμβολικά .

Επίσης αφού ο είναι περιττός, έστω , τότε ενώ .

Άρα . Τελικά λοιπόν η πάράσταση έχει στην ανάλυσή του σε πρώτους παράγοντες ακριβώς τρία 2-άρια, πράγμα που σημαίνει ότι δε μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Μονάδική λύση .

[Fotis34]

Μπράβο σου! Στο πρώτο θέμα μετά από λάθος πράξεις κατέληξα σε άσχετο αποτέλεσμα.
Το δεύτερο δεν το έπιασα καθόλου
Στο τρίτο έως ενός σημείου ότι δηλαδή 420=(y-x)(y+x) και κάπου εκεί σήκωσα τα χέρια ψηλά.
Στο τελευταίο σπατάλησα πολύτιμο χρόνο κάνοντας δοκιμές για να βρω το αποτέλεσμα διότι δεν έχω εμβαθύνει σε συνδυασμό κλπ αριθμών.
Έκανα τη ζωή των βαθμολογητών ευκολότερη χαχα δεν θα έχουν δύσκολο έργο κοιτώντας το γραπτό μου.
Εύχομαι καλά αποτελέσματα σε όλους μιας και νιώθω αληθινά κερδισμένος που έφτασα έως εδώ με γνώσεις του δημόσιου σχολείου που φοιτώ, β γυμνασίου.
Φιλικά Γιώργος

Μπράβο και σε σένα, και δεν πειράζει που δεν μπόρεσες να γράψεις παραπάνω θέματα.

[Kon21]

Καλησπέρα στο ,
εγώ έγραψε με τα θέματα των μικρών και έλυσα το 1ο και το 3ο σωστά (πιστεύω), ενώ στη γεωμετρία έγραψα κάποιες σχέσεις χωρίς να καταλήξω κάπου. Το 4 προσπάθησα να το λύσω και έφτασα σε ένα αποτέλεσμα (2304), αν και δεν ξέρω πόσο σωστό είναι. Μπορεί κάποιος να ανεβάσει τη λύση του;

Φιλικά, Κωνσταντίνος