Πολυώνυμα με ακέραιες τιμές

konargyr14 · #1

Δίνονται πολυώνυμα f,g

με πραγματικούς συντελεστές, βαθμού

, τέτοια ώστε για κάθε πραγματικό αριθμό

, αν το

είναι ακέραιος τότε και το g(x)

είναι ακέραιος. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακέραιοι m,n

τέτοιοι ώστε g(x) = mf(x) + n

για κάθε πραγματικό αριθμό

.

#2

konargyr14 έγραψε: ↑
Τετ Απρ 22, 2026 7:29 pm
Δίνονται πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές, βαθμού , τέτοια ώστε για κάθε πραγματικό αριθμό , αν το είναι ακέραιος τότε και το είναι ακέραιος. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε για κάθε πραγματικό αριθμό .

Ωραία άσκηση.

Έστω f(x)=ax^2+bx+c

και

. Χωρίς βλάβη a>0

και κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής $x\rightarrow x- \dfrac {b}{2a}$ μπορούμε να υποθέσουμε ότι b=0

, δηλαδή χωρίς βλάβη f(x)=ax^2+c

. Επειδή το σύνολο τιμών της

είναι κλειστό διάστημα που περιέχει το f(0)=c

, σημαίνει ότι η

παίρνει ως τιμή όλους τους φυσικούς $m\ge c$ .

Εξετάζουμε έναν τέτοιο $m \in \mathbb N$ . Λύνοντας την f(x) =m

βλέπουμε ότι για $x= \pm \sqrt {\dfrac {m-c}{a} }$ είναι $f(x) \in \mathbb Z$ και άρα εξ υποθέσεως $g(x) \in \mathbb Z$ . Με άλλα λόγια

$A\left (\dfrac {m-c}{a} \right )+B \sqrt {\dfrac {m-c}{a} }+C \in \mathbb Z$ και

$A\left (\dfrac {m-c}{a} \right ) -B\sqrt {\dfrac {m-c}{a} }+C \in \mathbb Z$ (*)

Με αφαίρεση κατά μέλη έπεται

$\boxed {2B \sqrt {\dfrac {m-c}{a} } }\in \mathbb Z}$ (**)

Από αυτό θα δείξουμε ότι B=0

. Πράγματι, αλλιώς θα είχαμε για οποιαδήποτε δύο $m,n\in \mathbb Z$ με $m, n \ge c$ με διαίρεση κατά μέλη των δύο σχέσεων (**)

$\sqrt {\dfrac {m-c}{n-c} } \in \mathbb Q$ .

Με ύψωση στο τετράγωνο έπεται $\dfrac {m-c}{n-c} = r\in \mathbb Q$ και άρα

$c= \dfrac {rn-1}{r-1} \in \mathbb Q$ . Γράφουμε τώρα $c= \dfrac {p}{q} \in \mathbb Q$ , οπότε η παραπάνω γίνεται

$\sqrt {\dfrac {m-\dfrac {p}{q} }{n-\dfrac {p}{q} } } \in \mathbb Q$ , ισοδύναμα $\sqrt {\dfrac {qm-p}{qn-p } } \in \mathbb Q$ .

Θέτοντας $m=q^3p, \, n=qp$ η προηγούμενη δίνει $\sqrt {\dfrac {q^4p-p}{q^2p-p } } \in \mathbb Q$ , ισοδύναμα $\sqrt {q^2+1} \in \mathbb Q$ . Άτοπο γιατί το q^2+1

δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Από το άτοπο συμπεραίνουμε το ζητούμενο $\boxed {B = 0}$ .

Πίσω στην (*) αυτό δίνει

$A\left (\dfrac {m-c}{a} \right )+ C \in \mathbb Z$ (***)

Επίσης, με m+1

στην θέση του

παίρνουμε

$A\left (\dfrac {m+1-c}{a} \right )+ C \in \mathbb Z$

Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες παίρνουμε $\boxed { \dfrac {A}{a} \in \mathbb Z}$

Ειδικά από την (***) και για οποιοδήποτε συγκεκριμένο

θέλουμε, υπάρχει $k\in \mathbb Z$ με $\boxed {C = k- A\left (\dfrac {m-c}{a}\right )}$

Όλα αυτά μαζί δίνουν

$g(x)=Ax^2+Bx+C = Ax^2+C = \dfrac {A}{a} (ax^2+c) - \dfrac {Ac}{a} + k- A\left (\dfrac {m-c}{a} \right ) = \dfrac {A}{a} f(x) + k-\dfrac {Am}{a}$

που είναι της ζητούμενης μορφής g(x)= Mf(x)+N

αφού $\dfrac {A}{a} \in \mathbb Z$ . Τελειώσαμε.

∫ot.T. · #3

Όταν είδα το πρόβλημα υπέθεσα ότι:
Αν δύο μη σταθερά πολυώνυμα ικανοποιούν τη συνεπαγωγή $f(x)\in \mathbb{Z} \Rightarrow g(x) \in \mathbb{Z}$ τότε υπάρχει πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές ώστε

Δεν ξέρω αν ισχύει η υπόθεση, αλλά μερικές πρώτες σκέψεις που έκανα δεν την απορρίπτουν.

∫ot.T. · #4

Αρχικά υπάρχει ένα αντιπαράδειγμα στην παραπάνω πρόταση αν $f(x)=x, g(x)=\dfrac{1}{2}x(x-1)$ . Όμως νομίζω ότι η πρόταση είναι αληθής αν ζητάμε το

να έχει ρητούς συντελεστές.

Αν αποδείξουμε ότι $degg =k\cdot degf$ όπου k ακέραιος τότε από το θεώρημα παρεμβολής Lagrange θα υπάρχει μοναδικό

βαθμού k (*) ώστε για k+1

τιμές

που δίνουν $f(x_i) \in \mathbb{Z}$ και $f(x_i) \neq f(x_j)$ για $i \neq j$ να ισχύει P(f(x_i))=g(x_i)

. Παρατηρούμε ότι το

έχει ρητούς συντελεστές.

Επίσης $degP\circ f = degg$ και τα πολυώνυμα $P\circ f$ και

έχουν

κοινά σημεία, άρα είναι ίσα που δίνει το ζητούμενο. (Λάθος

)
Όμως δεν έχω αποδείξει τη σχέση αυτή των βαθμών, μόνο ότι πρέπει $degg \geq degf$ .

(*) Μπορούμε να επιλέξουμε k+1

σημεία ώστε το

να είναι βαθμού

και όχι λιγότερο, εφόσον οι επιλογές μας μπορεί να είναι οποιαδήποτε x,g(x)

με

ακέραιο και αρκετά μεγάλο

ώστε η

να είναι 1-1. Οπότε αν κάθε k+1

-άδα έδινε degP < k

τότε προκύπτει ότι degg < k

που είναι άτοπο.

#5

∫ot.T. έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2026 9:21 pm
Αρχικά υπάρχει ένα αντιπαράδειγμα στην παραπάνω πρόταση αν $f(x)=x, g(x)=\dfrac{1}{2}x(x-1)$ .

Προσοχή, δεν είναι αντιπαράδειγμα στο αρχικό ερώτημα: Η εκφώνηση λέει ότι τα πολυώνυμα f,g

είναι και τα δύο δευτεροβάθμια. Στην απόδεξή μου το χρησιμοποίησα στο βήμα όπου γράφω ότι χωρίς βλάβη είναι a>0

.

∫ot.T. · #6

∫ot.T. έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2026 9:21 pm
Επίσης $degP\circ f = degg$ και τα πολυώνυμα $P\circ f$ και έχουν κοινά σημεία, άρα είναι ίσα που δίνει το ζητούμενο.

Βιάστηκα να μιλήσω και αυτό δεν ισχύει. Οπότε ίσως και να μην έχει γίνει πρόοδος στην απόδειξη... Κάποια ιδέα πιο αποτελεσματική από τη δική μου;

Πολυώνυμα με ακέραιες τιμές

Πολυώνυμα με ακέραιες τιμές

Re: Πολυώνυμα με ακέραιες τιμές

Re: Πολυώνυμα με ακέραιες τιμές

Re: Πολυώνυμα με ακέραιες τιμές

Re: Πολυώνυμα με ακέραιες τιμές

Re: Πολυώνυμα με ακέραιες τιμές

Μέλη σε σύνδεση